偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\log (7x^4+5y^3)}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{28x^3}{7x^4+5y^3},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{15y^2}{7x^4+5y^3}}$

■ヒント

合成関数の微分を行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

${\displaystyle u=7x^4+5y^3}$ とおくと，

${\displaystyle z=logu}$

対数の微分を行う．

${\displaystyle \frac{dz}{du}=\frac{1}{u}=\frac{1}{7x^4+5y^3}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=7\cdot 4\cdot x^{4-1}=28x^3}$

${\displaystyle \frac{dz}{du}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{7x^4+5y^3}\cdot 28x^3}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{28x^3}{7x^4+5y^3}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=5\cdot 3\cdot y^{3-1}=15y^2}$

${\displaystyle \frac{dz}{du}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{7x^4+5y^3}\cdot 15y^2}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{15y^2}{7x^4+5y^3}}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>偏微分の基礎

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日