偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\sin 4x^2+\cos 5y^3}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=8x\cos 4x^2,\frac{\partial z}{\partial y}=-15y^2\sin 5y^3}$

■ヒント

合成関数の微分と三角関数の微分を使う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(4x^2\right)\times \cos 4x^2}$

${\displaystyle =8x\cos 4x^2}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(5y^3\right)\times \left(-\sin 5y^3\right)}$

${\displaystyle =-15y^2\sin 5y^3}$

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最終更新日：2023年8月24日