偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\sin }^{-1}xy}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{\sqrt{1-x^2{y}^2}},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2{y}^2}}}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分の際は ${\displaystyle z={\sin }^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．
${\displaystyle z={\sin }^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(xy\right)}^2}}\times \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)}$

${\displaystyle =\frac{y}{\sqrt{1-x^2{y}^2}}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．
${\displaystyle z={\sin }^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(xy\right)}^2}}\times \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)}$

${\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{1-x^2{y}^2}}}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>微分の基礎

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日