偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\cos }^{-1}2xy}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2y}{\sqrt{1-4x^2{y}^2}}}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2x}{\sqrt{1-4x^2{y}^2}}}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分の際は ${\displaystyle {\cos }^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．
${\displaystyle {\cos }^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{\sqrt{1-{\left(2xy\right)}^2}}\times \frac{\partial }{\partial x}\left(2xy\right)}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2y}{\sqrt{1-4x^2{y}^2}}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．
${\displaystyle {\cos }^{-1}x}$  の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{\sqrt{1-{\left(2xy\right)}^2}}\times \frac{\partial }{\partial y}\left(2xy\right)}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2x}{\sqrt{1-4x^2{y}^2}}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日