偏微分とその値

■問題

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^2+xy-y^2}$

■答

${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)=0}$ ， ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)=5}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =2x+y}$

${\displaystyle 2x+y}$ に ${\displaystyle x=1,y=-2}$ を代入する．

$f_x\left(1,-2\right)$ ${\displaystyle =2-2}$

${\displaystyle =0}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =x-2y}$

${\displaystyle x-2y}$ に ${\displaystyle x=1,y=-2}$ を代入する．

$f_y\left(1,-2\right)$ ${\displaystyle =1-2\left(-2\right)}$

${\displaystyle =5}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年6月19日