偏微分とその値

■問題

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2+x{y}^3\right)}$

■答

それぞれ，${\displaystyle -1}$ と ${\displaystyle -19}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =x^2+x{y}^3+2x^2+x{y}^3+2xy+y^4}$

${\displaystyle =3x^2+2x\left(y^3+y\right)+y^4}$

${\displaystyle 3x^2+2x\left(y^3+y\right)+y^4}$ に ${\displaystyle x=1,y=-2}$ を代入する．

${\displaystyle =3+2\cdot \left(-8-2\right)+16}$

${\displaystyle =3-20+16}$

${\displaystyle =-1}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle =x^2+x{y}^3+3x^{2}y+3x{y}^3}$

${\displaystyle =x^2\left(1+3y^2\right)+4x{y}^3}$

${\displaystyle x^2\left(1+3y^2\right)+4x{y}^3}$ に ${\displaystyle x=1,y=-2}$ を代入する．

${\displaystyle =1\cdot \left(1+3\cdot 4\right)+4\cdot 1\cdot \left(-8\right)}$

${\displaystyle =13-32}$

${\displaystyle =-19}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>偏微分とその値

学生スタッフ作成

最終更新日： 2024年5月7日