合成関数の偏微分

■問題

${\displaystyle z=f\left(x,y\right),x=a+ht,y=b+kt}$ のとき， ${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle h{f}_x+k{f}_y}$

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．

■解説

${\displaystyle x^{\alpha }}$ の微分の公式より

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=h}$　　･･････(1)

${\displaystyle x^{\alpha }}$ の微分の公式より

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=k}$　　･･････(2)

以上から

${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$${\displaystyle =f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}}$

合成関数の偏微分の公式に(1)，(2) を代入すると

${\displaystyle =h{f}_x+k{f}_y}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月28日