合成関数の偏微分

■問題

${\displaystyle z=xy,x=2t^2+1,y=t^2+3t+1}$ のとき， ${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle =8t^3+18t^2+6t+3}$

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．

■解説

${\displaystyle x^{\alpha }}$ の微分の公式より

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=4t}$

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=2t+3}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分すると,

${\displaystyle z_x=\frac{\partial z}{\partial x}=y}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分すると,

${\displaystyle z_y=\frac{\partial z}{\partial y}=x}$

合成関数の偏微分の公式より

${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$${\displaystyle =z_x\frac{dx}{dt}+z_y\frac{dy}{dt}}$

上で求めた式をそれぞれ代入すると,

${\displaystyle =y\left(4t\right)+x\left(2t+3\right)}$

${\displaystyle =\left(t^2+3t+1\right)\left(4t\right)}$${\displaystyle +\left(2t^2+1\right)\left(2t+3\right)}$

${\displaystyle =4t^3+12t^2+4t+4t^3+6t^2+2t+3}$

${\displaystyle =8t^3+18t^2+6t+3}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月28日