偏微分

■問題

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=3x-2y}$

■答

すべて${\displaystyle 0}$

■ヒント

2次偏導関数${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$ の4つを求める．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ ，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ を計算してから，それぞれを更に$x$，$y$で偏微分する．

■解説

●${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ の計算

${\displaystyle z=3x-2y}$を偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(3x-2y\right)=3}$　･･････(1)

●${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ の計算

${\displaystyle z=3x-2y}$を偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(3x-2y\right)=2}$　･･････(2)

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$ の計算

(1)を更に， 偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial x}3=0}$

すなわち

${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}}$${\displaystyle =0}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$ の計算

(2)を更に， 偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial y}2=0}$

すなわち

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$${\displaystyle =0}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$ の計算

(1)を更に，偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial y}3=0}$

すなわち

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=0}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$ の計算

(2)を更に，偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}2=0}$

すなわち

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=0}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月29日