偏微分

■問題

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=2x^2-3xy+4y^2}$

■答

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=4}$ ， ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=8}$ ， ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=-3}$

■ヒント

2次偏導関数${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$ の4つを求める．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ ，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ を計算してから，それぞれを更に$x$，$y$で偏微分する．

■解説

●${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ の計算

${\displaystyle z=2x^2-3xy+4y^2}$を偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(2x^2-3xy+4y^2\right)}$ ${\displaystyle =4x-3y}$　･･････(1)

●${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ の計算

${\displaystyle z=2x^2-3xy+4y^2}$を偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(2x^2-3xy+4y^2\right)}$ ${\displaystyle =-3x+8y}$　･･････(2)

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$ の計算

(1)を更に， 偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(4x-3y\right)}$ ${\displaystyle =4}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$ の計算

(2)を更に， 偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(-3x+8y\right)}$ ${\displaystyle =8}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$ の計算

(1)を更に，偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(4x-3y\right)}$ ${\displaystyle =-3}$　･･････(3)

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$ の計算

(2)を更に，偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(4x-3y\right)}$ ${\displaystyle =-3}$　･･････(4)

(3)，(4)より

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$

となり，2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた．

　

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最終更新日： 2023年8月30日