偏微分

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=e^{xy}}$

■答

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=y^2{e}^{xy}}$ ， ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=x^2{e}^{xy}}$ ， ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\left(1+xy\right)e^{xy}}$

■ヒント

2次偏導関数${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$ の4つを求める．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ ，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ を計算してから，それぞれを更に$x$，$y$で偏微分する．

■解説

●${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ の計算

${\displaystyle z=e^{xy}}$ を偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(e^{xy}\right)=y{e}^{xy}}$ 　･･････(1)

●${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ の計算

${\displaystyle z=e^{xy}}$ を偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(e^{xy}\right)=x{e}^{xy}}$ 　･･････(2)

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$ の計算

(1)を更に， 偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(y{e}^{xy}\right)=y^2{e}^{xy}}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$ の計算

(2)を更に， 偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(x{e}^{xy}\right)=x^2{e}^{xy}}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$ の計算

(1)を更に，偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(y{e}^{xy}\right)}$ ${\displaystyle =e^{xy}+y{e}^{xy}\cdot x}$${\displaystyle =\left(1+xy\right)e^{xy}}$ 　･･････(3)

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$ の計算

(2)を更に，偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(x{e}^{xy}\right)}$ ${\displaystyle =e^{xy}+x{e}^{xy}\cdot y}$${\displaystyle =\left(1+xy\right)e^{xy}}$ 　･･････(4)

(3)，(4)より

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$

となり，2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた．

　

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最終更新日： 2023年8月30日