調和関数に関する問題

■問題

次の関数は調和関数であることを示せ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)={\tan }^{-1}\frac{y}{x}}$

■ヒント

調和関数の定義

${\displaystyle \Delta f=\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)f}$ ${\displaystyle =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}$ ${\displaystyle =f_{xx}+f_{yy}}$ ${\displaystyle =0}$

がなりたつことを示す．

■答

${\displaystyle f_x=\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\times \left(-\frac{y}{x^2}\right)}$${\displaystyle =\frac{x^2}{x^2+y^2}\times \left(-\frac{y}{x^2}\right)}$${\displaystyle =-\frac{y}{x^2+y^2}}$

${\displaystyle f_{xx}=-\frac{-y\cdot 2x}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}}$${\displaystyle =\frac{2xy}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}}$

${\displaystyle f_y=\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\times \left(\frac{1}{x}\right)}$${\displaystyle =\frac{x^2}{x^2+y^2}\times \left(\frac{1}{x}\right)}$${\displaystyle =\frac{x}{x^2+y^2}}$

${\displaystyle f_{yy}=-\frac{-x\cdot 2y}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}}$${\displaystyle =-\frac{2xy}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}}$

${\displaystyle \therefore \Delta f=f_{xx}+f_{yy}}$${\displaystyle =\frac{2xy}{\left(x^2+y^2\right)}+\left\{-\frac{2xy}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\right\}}$${\displaystyle =0}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日