加法定理の問題

■問題

${\displaystyle \sin 18°}$ の値を求めよ．

■答

${\displaystyle sin18°=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$

■解き方

${\displaystyle \theta =18°}$ とおくと，

${\displaystyle 5\theta =90°}$

となる。 2倍角の公式 ， 3倍角の公式 を利用するために，

${\displaystyle 3\theta =90°-2\theta }$

と式を変形する．よって，

${\displaystyle cos3\theta =cos\left(90°-2\theta \right)}$･･････(1)

${\displaystyle cos(90°-2\theta )=sin2\theta }$･･････(2)

${\displaystyle (\because cos\left(90°-\theta \right)=sin\theta }$ 　⇒ 参照 )

より(1)は

${\displaystyle cos3\theta =sin2\theta }$･･････(3)

となる．

${\displaystyle cos3\theta =4{cos}^3\theta -3cos\theta }$ ･･････(4) ${\displaystyle (\because }$ 3倍角の公式を利用)

${\displaystyle sin2\theta =2sin\theta cos\theta }$･･････(5) ${\displaystyle (\because }$ 2倍角の公式を利用)

(4)，(5)を(3)に代入すると

${\displaystyle 4{cos}^3\theta -3cos\theta =2sin\theta cos\theta }$･･････(6)

となる．${\displaystyle cos\theta \ne 0}$ なので，両辺を${\displaystyle cos\theta }$ で割ると

${\displaystyle 4{cos}^2\theta -3=2sin\theta }$

${\displaystyle 4\left(1-{sin}^2\theta \right)-3=2sin\mathrm{\theta \; }(\because }$ ${\displaystyle {sin}^2\theta +{cos}^2\theta =1}$ を利用)

となる． ${\displaystyle sin\theta =X}$ とおいて式を整理すると

${\displaystyle 4\left(1-X^2\right)-3=2X}$

${\displaystyle -4X^2+1-2X=0}$ 

${\displaystyle 4X^2+2X-1=0}$ 

となる．解の公式より

${\displaystyle \begin{array}{l}X=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+4\cdot 1}}{4}\\ =\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}\end{array}}$

${\displaystyle X=sin\theta =sin18°>0}$ より

${\displaystyle X=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$

${\displaystyle sin18°=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$

■解説

${\displaystyle 5\theta =90°}$ を作り， 2倍角の公式 ， 3倍角の公式 を利用して解く．

また，図形を用いて解く方法もある．別解

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初版：2010年6月5日，最終更新日： 2010年12月7日