問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

加法定理の問題

■問題

${\displaystyle \sin 18°}$ の値を求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle sin18°=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$

■ヒント

${\displaystyle 5\theta =90°}$ を作り， 2倍角の公式 ， 3倍角の公式 を利用して解く．

また，図形を用いて解く方法もある．別解

■解き方

${\displaystyle \theta =18°}$ とおくと，

${\displaystyle 5\theta =90°}$

となる． 2倍角の公式 ， 3倍角の公式 を利用するために

${\displaystyle 3\theta =90°-2\theta }$

と式を変形する．よって

${\displaystyle cos3\theta =cos\left(90°-2\theta \right)}$ ･･････(1)

が成り立つ．

${\displaystyle cos(90°-2\theta )=sin2\theta }$ ･･････(2)

${\displaystyle (\because cos\left(90°-\theta \right)=sin\theta }$ ⇒ 参照 )

より(1)は

${\displaystyle cos3\theta =sin2\theta }$ ･･････(3)

となる．

${\displaystyle cos3\theta =4{cos}^3\theta -3cos\theta }$ ･･････(4)

( ${\displaystyle \because }$ 3倍角の公式を利用)

${\displaystyle sin2\theta =2sin\theta cos\theta }$ ･･････(5)

( ${\displaystyle \because }$ 2倍角の公式を利用)

(4)，(5)を(3)に代入すると

${\displaystyle 4{cos}^3\theta -3cos\theta =2sin\theta cos\theta }$ ･･････(6)

となる． ${\displaystyle cos\theta \ne 0}$ なので，両辺を ${\displaystyle cos\theta }$ で割ると

${\displaystyle 4{cos}^2\theta -3=2sin\theta }$

${\displaystyle 4\left(1-{sin}^2\theta \right)-3=2sin\theta }$

(∵ ${\displaystyle {sin}^2\theta +{cos}^2\theta =1}$ を利用)

となる． ${\displaystyle sin\theta =X}$ とおいて式を整理すると

${\displaystyle 4\left(1-X^2\right)-3=2X}$

${\displaystyle -4X^2+1-2X=0}$  

${\displaystyle 4X^2+2X-1=0}$  

となる．解の公式より

${\displaystyle X=\frac{-1\pm \sqrt{1^2+4\cdot 1}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}}$

${\displaystyle X=sin\theta =sin18°>0}$ より

${\displaystyle X=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$

以上より

${\displaystyle sin18°=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$

　

　

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最終更新日： 2025年4月18日

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