問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図利用してください.

加法定理の問題

■問題

sin18° の値を求めよ.

■答

sin18°= 1+ 5 4

■解き方

θ = 18 ° とおくと,

5θ=90°

となる。 2倍角の公式3倍角の公式 を利用するために,

3θ=90°2θ

と式を変形する.よって,

cos3θ=cos( 90°2θ ) ・・・・・・(1)

が成り立つ.

cos(90°2θ)=sin2θ ・・・・・・(2)

( cos( 90°θ )=sinθ  ⇒ 参照 )

より(1)は

cos3θ=sin2θ・・・・・・(3)

となる.

cos3θ= 4cos3θ 3cosθ ・・・・・・(4)    ( ∵  3倍角の公式を利用)

sin2θ=2sinθcosθ・・・・・・(5)     ( ∵   2倍角の公式を利用)

(4),(5)を(3)に代入すると

4 cos 3 θ3cosθ=2sinθcosθ ・・・・・・(6)

となる. cosθ0 なので,両辺を cosθ で割ると

4 cos 2 θ3=2sinθ

4( 1 sin 2 θ )3=2sin θ    (∵    sin 2 θ+ cos 2 θ=1 を利用)

となる. sinθ= X とおいて式を整理すると

4( 1 X 2 )3=2X

4 X 2 +12X=0  

4 X 2 +2X1=0  

となる.解の公式より

X= 1± 1 2 +41 4  = 1±5 4

X=sinθ=sin 18 ° > 0 より

X= 1+ 5 4

以上より

sin18°= 1+ 5 4

■解説

5θ=90° を作り, 2倍角の公式3倍角の公式 を利用して解く.

また,図形を用いて解く方法もある.別解

 

 

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初版:2010年6月5日,最終更新日: 2010年12月7日

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