問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

加法定理の問題

■問題

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ ，${\displaystyle sin\alpha =\frac{4}{5}}$ のとき，${\displaystyle cos2\alpha }$ ，${\displaystyle sin2\alpha }$ ，${\displaystyle tan\frac{\alpha }{2}}$の値を求めよ．

■答

${\displaystyle cos2\alpha =-\frac{7}{25}}$，${\displaystyle sin2\alpha =-\frac{24}{25}}$，${\displaystyle tan\frac{\alpha }{2}=2}$

■ヒント

${\displaystyle \sin \alpha =\frac{4}{5}}$ を用いて${\displaystyle \cos \alpha }$ を算出する．

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ より，${\displaystyle \cos \alpha <0}$，${\displaystyle {45}^{°}<\frac{\alpha }{2}<{90}^{°}}$ より，${\displaystyle \tan \frac{\alpha }{2}>0}$となることに注意する．

２倍角の公式と半角の公式を利用する．

■解説

${\displaystyle sin\alpha =\frac{4}{5}}$ より

${\displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\pm \frac{3}{5}}$

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ から

${\displaystyle cos\alpha =-\frac{3}{5}}$

次に，2倍角の公式より

${\displaystyle \cos 2\alpha }$${\displaystyle =1-2{\sin }^2\alpha }$${\displaystyle =1-2{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}$${\displaystyle =1-2\times \frac{16}{25}}$${\displaystyle =1-\frac{32}{25}}$${\displaystyle =-\frac{7}{25}}$

${\displaystyle \sin 2\alpha }$${\displaystyle =2\sin \alpha \cos \alpha }$${\displaystyle =2\times \frac{4}{5}\times \left(-\frac{3}{5}\right)}$${\displaystyle =-\frac{24}{25}}$

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ より，${\displaystyle {45}^{°}<\frac{\alpha }{2}<{90}^{°}}$ であるから，${\displaystyle \tan \frac{\alpha }{2}>0}$である． 半角の公式を用いて

${\displaystyle \tan \frac{\alpha }{2}}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{3}{5}\right)}{1+\left(-\frac{3}{5}\right)}}}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{8}{2}}}$${\displaystyle =2}$

　

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最終更新日： 2023年3月15日

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