三角関数の方程式の問題

■問題

${\displaystyle 0°\leqq \theta <360°}$ のとき次の方程式を解きなさい．

${\displaystyle cos2\theta +3cos\theta -1=0}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \theta ={60}^{°},{300}^{°}}$

■ヒント

2倍角の公式の公式を用いて式を変形した後，因数分解をして解く．最後の ${\displaystyle \theta }$ を出すときは範囲に注意すること．

■解説

2倍角の公式　 ${\displaystyle cos2\theta =2{cos}^2\theta -1}$ より

${\displaystyle \left(2{cos}^2\theta -1\right)+3cos\theta -1=0}$

${\displaystyle 2{cos}^2\theta +3cos\theta -2=0}$

これを因数分解すると

${\displaystyle \left(\cos \theta +2\right)\left(2\cos \theta -1\right)=0}$ ･･････(1)

となる

${\displaystyle \cos \theta +2=0}$ ， ${\displaystyle 2\cos \theta -1=0}$

であるが， ${\displaystyle -1\leqq \cos \theta \leqq 1}$ より， ${\displaystyle \cos \theta +2=0}$ は解なしとなり除かれる．

(1)を満たすのは

${\displaystyle 2\cos \theta -1=0}$

となり

${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{2}}$

${\displaystyle 0°\leqq \theta <360°}$ であるから

${\displaystyle \theta ={60}^{°},{300}^{°}}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年3月3日