三角関数の方程式の問題

■問題

${\displaystyle 0°\leqq \theta <360°}$ のとき次の方程式を解きなさい．

${\displaystyle cos2\theta +3cos\theta -1=0}$

■答

${\displaystyle \theta ={210}^{°},{330}^{°}}$

■ヒント

2倍角の公式の公式を用いて式を変形した後，因数分解をして解く．最後の${\displaystyle \theta }$ を出すときは範囲に注意すること．

■解説

2倍角の公式　 ${\displaystyle cos2\theta =2{cos}^2\theta -1}$ より

${\displaystyle \left(2{cos}^2\theta -1\right)+3cos\theta -1=0}$

${\displaystyle 2{cos}^2\theta +3cos\theta -2=0}$

これを因数分解すると

${\displaystyle \left(cos\theta -2\right)\left(2cos\theta +1\right)=0}$

となる．${\displaystyle cos\theta -2<0}$ であるから

${\displaystyle 2sin\theta +1=0}$

ゆえに

${\displaystyle sin\theta =-\frac{1}{2}}$

${\displaystyle 0°\leqq \theta <360°}$ であるから

${\displaystyle \theta ={210}^{°},{330}^{°}}$

　

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最終更新日： 2024年9月30日