加法定理の問題12

■問題

${\displaystyle x+y+z={180}^{°}}$で

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\sin x\sin y=\cos z\\ \sin x+\sin y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\sin z+1\end{array}}$

を満たしているとき，${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ ，${\displaystyle z}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left({90}^{°},{30}^{°},{60}^{°}\right),\left({30}^{°},{90}^{°},{60}^{°}\right)}$

■解説

${\displaystyle \sin x\sin y=\cos z}$ 　･･････(1)

${\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin z+1}$ 　･･････(2)

とする

${\displaystyle x>0^{°},y>0^{°},z>0^{°}}$ で

${\displaystyle x+y+z={180}^{°}}$ 　･･････(3)

から，${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle z}$ の範囲は，${\displaystyle 0^{°}<x<{180}^{°}}$，${\displaystyle 0^{°}<y<{180}^{°}}$，${\displaystyle 0^{°}<z<{180}^{°}}$ となり，(3)から

${\displaystyle z=180-\left(x+y\right)}$ 　･･････(3)’

(3)’より

${\displaystyle cosz}$${\displaystyle =cos\left({180}^{°}-x-y\right)}$

${\displaystyle =-cos\left(x+y\right)}$

${\displaystyle =-\left(cosxcosy-sinxsiny\right)}$

${\displaystyle =-cosxcosy+sinxsiny}$

(1)の式より

${\displaystyle -cosxcosy=0}$

${\displaystyle cosxcosy=0}$ ･･････(4)

(2)より

${\displaystyle sinx+siny=\frac{1}{\sqrt{3}}sin\left(x+y\right)+1}$ ･･････(5)

(4)より

${\displaystyle cosx=0}$　または　${\displaystyle cosy=0}$

である．

${\displaystyle cosx=0}$のとき

${\displaystyle 0^{°}<x<{180}^{°}}$より

${\displaystyle x={90}^{°}}$　･･････(6)

(6)を(5)に代入すると

${\displaystyle 1+\sin y=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \left(90+y\right)+1}$

${\displaystyle \sin y=\frac{1}{\sqrt{3}}\cos y}$

${\displaystyle \tan y=\frac{1}{\sqrt{3}}}$

${\displaystyle 0^{°}<y<{180}^{°}}$から

${\displaystyle y={30}^{°}}$

(3)より

${\displaystyle z={60}^{°}}$

${\displaystyle \cos y=0}$のとき

${\displaystyle x}$ と${\displaystyle y}$を入れ替えても問題は同等であるので，${\displaystyle \cos x=0}$ のときの${\displaystyle x}$ と${\displaystyle y}$ を入れ替えるとよい．

${\displaystyle x={30}^{°},y={90}^{°},z={60}^{°}}$

となる

よって(1)，(2)を満たしている値は

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left({90}^{°},{30}^{°},{60}^{°}\right),\left({30}^{°},{90}^{°},{60}^{°}\right)}$

となる

　

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最終更新日： 2023年3月16日