加法定理の問題12

■問題

${\displaystyle x>0^{°},y>0^{°},z>0^{°}}$ ，かつ， ${\displaystyle x+y+z={180}^{°}}$ で

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\sin x\sin y=\cos z\\ \sin x+\sin y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\sin z+1\end{array}}$

を満たしているとき， ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle y}$ ， ${\displaystyle z}$ を求めよ．

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■答

■解説

${\displaystyle \sin x\sin y=\cos z}$ ･･････(1)

${\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin z+1}$ ･･････(2)

とする．

${\displaystyle x>0^{°},y>0^{°},z>0^{°}}$ で

${\displaystyle x+y+z={180}^{°}}$ ･･････(3)

から， ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle z}$ の範囲は， ${\displaystyle 0^{°}<x<{180}^{°}}$ ， ${\displaystyle 0^{°}<y<{180}^{°}}$ ， ${\displaystyle 0^{°}<z<{180}^{°}}$ となり，(3)から

${\displaystyle z={180}^{°}-\left(x+y\right)}$ ･･････(4)

(4)より

${\displaystyle cosz}$ ${\displaystyle =cos\left({180}^{°}-x-y\right)}$

${\displaystyle =-cos\left(x+y\right)}$　∵三角関数計算の基礎

${\displaystyle =-\left(cosxcosy-sinxsiny\right)}$　∵加法定理

${\displaystyle =-cosxcosy+sinxsiny}$ ･･････(5)

(1)に（5を代入する．

${\displaystyle -cosxcosy=0}$

${\displaystyle cosxcosy=0}$ ･･････(6)

(2)に(4)を代入する．

(6)より

${\displaystyle cosx=0}$ ，または， ${\displaystyle cosy=0}$

である．

● ${\displaystyle cosx=0}$ のとき

${\displaystyle 0^{°}<x<{180}^{°}}$ より

${\displaystyle x={90}^{°}}$ ･･････(8)

(8)を(7)に代入すると

${\displaystyle \sin y=\frac{1}{\sqrt{3}}\cos y}$

${\displaystyle \tan y=\frac{1}{\sqrt{3}}}$

${\displaystyle 0^{°}<y<{180}^{°}}$ より

${\displaystyle y={30}^{°}}$

(3)より

${\displaystyle z={60}^{°}}$

● ${\displaystyle \cos y=0}$ のとき

${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ を入れ替えても問題は同等であるので， ${\displaystyle \cos x=0}$ のときの ${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ を入れ替えるとよい．

${\displaystyle x={30}^{°},y={90}^{°},z={60}^{°}}$

となる．

よって(1)，(2)を満たしている値は

となる．

　

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最終更新日： 2025年4月18日