問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sin3xcos5xdx}$ 　　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{16}cos8x+\frac{1}{4}cos2x+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

三角関数の積和の公式より

${\displaystyle sinacosb}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{sin\left(a+b\right)+sin\left(a-b\right)\right\}}$　･･････${\displaystyle \left(1\right)}$

の公式を用いる．

■解説

この問題では，方針の公式 ${\displaystyle \left(1\right)}$ の ${\displaystyle a}$ に${\displaystyle 3x\mathrm{}}$， ${\displaystyle b}$ に${\displaystyle 5x\mathrm{}}$ をあてはめる．

${\displaystyle =\int \frac{1}{2}\left\{sin8x+sin\left(-2x\right)\right\}dx}$ 　　

（ ${\displaystyle sin\left(-2x\right)=-sin2x}$ になるのは， 三角関数の関係式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \left(sin8x-sin2x\right)dx}$ 　　

（ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{8}\left(-cos8x\right)-\frac{1}{2}\left(-cos2x\right)\right\}+C}$ 　　

（ 三角関数の積分の公式の 1番目の式を参照，${\displaystyle C}$ は積分定数）

${\displaystyle =-\frac{1}{16}cos8x+\frac{1}{4}cos2x+C}$ 　　

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle -\frac{1}{16}cos8x+\frac{1}{4}cos2x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle sin3xcos5x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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