問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int log2xdx}$ 　

■答

${\displaystyle xlog2x-\frac{1}{2}x+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

部分積分法より

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)}g\left(x\right)dx}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int log2xdx=\int \left(log2x\right)·{\left(x\right)}^{\prime }dx}$　と見て部分積分法を用いる．

（ ${\displaystyle log2x=\left(log2x\right)·1=\left(log2x\right)·{\left(x\right)}^{\prime }}$ と考える．）

（${\displaystyle 1={\left(x\right)}^{\prime }}$ となるのは，微分 ${\displaystyle x^{\alpha }}$ を参照）

与式${\displaystyle =\int \left(log2x\right)·{\left(x\right)}^{\prime }dx}$ 　　　

${\displaystyle =\left(log2x\right)·\left(x\right)-\int {\left(log2x\right)}^{\prime }·\left(x\right)dx}$ 　　　

（方針の公式にあてはめる）

${\displaystyle =xlog2x-\int \left(\frac{1}{2x}\right)·\left(x\right)dx}$ 　　　

（${\displaystyle {\left(log2x\right)}^{\prime }}$ が ${\displaystyle \frac{1}{2x}}$ になるのは， 微分 ${\displaystyle logx}$ を参照）

${\displaystyle =xlog2x-\frac{1}{2}\int dx}$ 　　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =xlog2x-\frac{1}{2}x+C}$ 　　　

（${\displaystyle C}$ は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle xlog2x-12x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle log2x}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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