問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

1 tan 2 2x dx   

■答

1 8 sin4x 1 2 x+C    C は積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分 より

x dx= 1 1+a x 1+a +C    C は積分定数) ・・・・・・(1)

cosx dx=sinx+C  ・・・・・・(2)  

の公式を用いる.

■解説

tan 2 x+1= 1 cos 2 x

より

tan 2 2x+1= 1 cos 2 2x

両辺の逆数をとると

1 tan 2 2x = cos 2 2x 1

となる(三角関数の関係式 を参照). 

また, cos の加法定理 より

cos( 2x+2x ) =cos2xcos2xsin2xsin2x  ・・・・・・(3)  

三角関数の積和の公式の導出を参照)

cos( 2x2x ) =cos2xcos2x+sin2xsin2x  ・・・・・・(4)  

(3)+(4)より

2cos2xcos2x =cos( 2x+2x )+cos( 2x2x )   

2 cos 2 2x=cos4x+cos0   

cos 2 2x= 1 2 ( cos4x+cos0 )   

ここで, cos0=1 なので, cos 2 2x= 1 2 ( 1+cos4x )  となる.,半角の公式 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 を用いてもよい.

よって

1 tan 2 2x = 1 2 ( 1+cos4x ) = 1 2 cos4x 1 2

と積分の公式が使えるように式変形をする.

与式 = ( 1 2 cos4x 1 2 ) dx  

= 1 2 cos4x dx 1 2 dx   

1 2 が積分記号 の前に移せるのは, 不定積分の基本式を参照)

= 1 8 sin4x 1 2 x+C   

(方針の公式 ( 2 ) ( 1 ) にあてはめる)

 

■確認問題

求まった答え  1 8 sin4x 1 2 x+C  を微分し,積分前の式   1 tan 2 2x  に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日

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