問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int {tan}^{2}2xdx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}tan2x-x+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　･･････(1)

${\displaystyle \int {sec}^{2}xdx=tanx+C}$　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {tan}^{2}x+1=\frac{1}{{cos}^{2}x}}$

より

${\displaystyle {tan}^{2}x=\frac{1}{{cos}^{2}x}-1}$

となる．両辺の逆数をとると

${\displaystyle {tan}^{2}2x=\frac{1}{{cos}^{2}2x}-1}$　　（三角関数の相互関係 を参照）

が得られる．また

${\displaystyle {sec}^{2}x=\frac{1}{{cos}^{2}x}}$

より，公式(2)は

${\displaystyle \int \frac{1}{{cos}^{2}x}dx=tanx+C}$　･･････(3)

となる．

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}2x}-1\right)}dx}$ 　

${\displaystyle =\int \frac{1}{{cos}^{2}2x}dx-\int dx}$ 　　

(不定積分の基本式の${\displaystyle 2}$ つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}tan2x-x+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数) 　　

（(3)とヒントの公式(1)にあてはめた）

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle \frac{1}{2}tan2x-x+C}$　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle {tan}^{2}2x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

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