問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

${\displaystyle cosx=t}$ と置換する方法

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sinxcosxdx}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

あるいは

${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$

でもよい．

■ヒント

置換積分法より

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)dx={\displaystyle \int f\left(x\right)\frac{dx}{dt}}}dt}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(g\left(t\right)\right)}{g}^{\prime }\left(t\right)dt}$ ･･････(1)

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int xdx=\frac{1}{1+a}{x}^{1+a}+C}$ ･･････(2) 　( $C$ は積分定数)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle cosx=t}$ ･･････(3)

とおいて，置換積分する．置換積分の詳細は置換積分法を参照

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$ →　 ${\displaystyle dt=\sin xdx}$ ･･････(4)

（ ${\displaystyle cosx}$ を微分すると ${\displaystyle -\sin x}$ になるのは，ここ 　を参照）

(3)，(4) を用いて置換積分をする．

${\displaystyle {\displaystyle \int \cos x·\sin xdx}}$ ${\displaystyle =\int t·\left(-dt\right)}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int tdt}}$ （−を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

方針の公式(2)にを用いる．

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{t}^2+C}$

はじめに(3)とおいているので，元に戻す．

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x+C}$

これは，2倍角の公式によって求まった答 ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ と異なっているが， ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ を変形すると ${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ になる．

半角の公式の 2 番目の式より

${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(\frac{1+cos2x}{2}\right)+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x-\frac{1}{4}+C}$

ここで， ${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$ も任意の定数となるので， ${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$ を改めて ${\displaystyle C}$ とかき直す．

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x+C}$

よって，このことから， ${\displaystyle cosx=t}$ とおいて置換積分する方法でも解くことができる．

　

■確認問題

求まった答え　 ${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ ， ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle sinxcosx}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年3月7日

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