問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\left(-\cos x\right)}^{\prime }\cos }xdx}$ と部分積分する方法

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sinxcosxdx}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$   （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

あるいは

${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$

でもよい．

■ヒント

部分積分法より

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int sinxcosxdx=\int {\left(-cosx\right)}^{\prime }cosxdx}$

と考えて部分積分法を使う． ${\displaystyle sinx}$ が ${\displaystyle {\left(-cosx\right)}^{\prime }}$ に変換できるのは， ここ を参照

与式 ${\displaystyle =\int {\left(-cosx\right)}^{\prime }cosxdx}$

方針の部分積分の公式を利用する

${\displaystyle =-{cos}^{2}x-\int \left(-cosx\right)·\left(-sinx\right)dx}$

（ ${\displaystyle cosx}$ を微分すると ${\displaystyle -sinx}$ になるのは，ここ を参照）

${\displaystyle =-{cos}^{2}x-\int sinxcosxdx}$

ここで， ${\displaystyle \int sinxcosxdx=I}$ とおくと

${\displaystyle I}$ ${\displaystyle =-{cos}^{2}x-I}$

${\displaystyle 2I}$ ${\displaystyle =-{cos}^{2}x}$

${\displaystyle I}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{2}{cos}^{2}x}$

最後に，積分定数 ${\displaystyle C}$ を加える．

${\displaystyle I=-\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$

これは，2倍角の公式によって求まった答 ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ と異なっているが， ${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ を変形すると ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ になる．

半角の公式の 2番目の式より

${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(\frac{1+cos2x}{2}\right)+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x-\frac{1}{4}+C}$

ここで， ${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$ も任意の定数となるので， ${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$ を改めて ${\displaystyle C}$ とかき直す．

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x+C}$

よって，このことから， ${\displaystyle \cos x=t}$ とおいて置換積分する方法でも解くことができる．

　

■確認問題

求まった答え　 ${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ ， ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle sinxcosx}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年3月7日

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