不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int sin (5 x + \frac{π}{3}) d x$ 　　

$- \frac{1}{5} cos (5 x + \frac{π}{3}) + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

$\int sin x d x = - cos x + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

の公式を用いる．

$\int sin (5 x + \frac{π}{3}) d x$ 　　

$5 x + \frac{π}{3} = t$ と置いて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

$\frac{d t}{d x} = 5$ 　→　 $d x = \frac{1}{5} d t$ 　

よって

$= \int sin t \cdot \frac{1}{5} d t$ 　　

$= \frac{1}{5} \int sin t d t$ 　　

（不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

$= \frac{1}{5} \cdot (- cos t) + C$ 　　

（ヒントの公式にあてはめた）

$= - \frac{1}{5} cos t + C$ 　　

$= - \frac{1}{5} cos (5 x + \frac{π}{3}) + C$ 　　

（最初に， $5 x + \frac{π}{3} = t$ 　と置換したので，元に戻した）

求まった答え　 $- \frac{1}{5} cos (5 x + \frac{π}{3}) + C$ 　を微分し，積分前の式　 $sin (5 x + \frac{π}{3})$ 　に戻ることを確認しなさい．

最終更新日： 2023年11月24日