問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線${\displaystyle y=-x^4+2x^3}$，直線${\displaystyle x=1}$，${\displaystyle x}$軸で囲まれた面積を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{13}{10}}$

■ヒント

曲線と${\displaystyle x}$軸で囲まれた面積の求め方

1．曲線のグラフを書く．

2．グラフと${\displaystyle x}$軸との共有点と上下関係を調べて面積を求める．

■解説

${\displaystyle y=-x^4+2x^3}$

${\displaystyle =-x^3(x-2)}$

${\displaystyle y=0}$ とすると，${\displaystyle x=0,2}$

${\displaystyle y^{\prime }=-4x^3+6x^2}$

${\displaystyle =-2x^2(2x-3)}$

${\displaystyle y^{\prime }=0}$とすると，${\displaystyle x=0,\frac{3}{2}}$

${\displaystyle y}$ における増減表を次のようになる．

よって，${\displaystyle y=-x^4+2x^3}$ ，${\displaystyle x}$ 軸，${\displaystyle x=1}$ に囲まれた面積は図のようになる．

図より，${\displaystyle 1\leqq x\leqq 2}$のとき${\displaystyle y\geqq 0}$であるから， 求める面積$S$ は面積の計算より

${\displaystyle S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}(-x^4+2x^3)dx}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{2}\right]}_1^2}$

${\displaystyle =\left(-\frac{2^5}{5}+\frac{2^4}{2}\right)-\left(-\frac{1^5}{5}+\frac{1^4}{2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{13}{10}}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>定積分の問題>>${\displaystyle y=-x^4+2x^3}$ ，${\displaystyle x}$ 軸，${\displaystyle x=1}$で囲まれる面積

学生スタッフ作成
最終更新日：2023年11月13日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)