問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_{-3}^0\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$ 　

■答

${\displaystyle log2}$ 　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1) 　

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+A}}dx}$${\displaystyle =log\left|x+\sqrt{x^2+A}\right|+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$ 　を求めておく．

ヒントの式(2)より

${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$${\displaystyle =log\left|x+\sqrt{x^2+16}\right|+C}$ 　　

（これが　 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+16}}}$ 　の原始関数である）

よって，(1)より

${\displaystyle {\int }_{-3}^0\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}dx}$${\displaystyle ={\left[log\left|x+\sqrt{x^2+16}\right|\right]}_{-3}^0}$ 　

となる．

${\displaystyle =log\left|0+\sqrt{0+16}\right|}$${\displaystyle -log\left|-3+\sqrt{9+16}\right|}$ 　

${\displaystyle =log\left|\sqrt{16}\right|-log\left|-3+\sqrt{25}\right|}$ 　

${\displaystyle =log4-log2}$ 　

${\displaystyle =log\frac{4}{2}}$ 　

（ ${\displaystyle log4-log2=log\frac{4}{2}}$ については，対数計算の基本を参照 ）

${\displaystyle =log2}$ 　

　

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最終更新日： 2023年11月23日

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