問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

(logx) 2 dx

■答

x ( logx ) 2 2xlogx2x+C           ( C は積分定数)

■ヒント

部分積分法より,公式

f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) d x  

を用いる.

■解説

部分積分法の公式から,

( logx ) 2 dx= 1 ( logx ) 2 dx

とおく.

f (x)=1

g(x)= ( logx ) 2

とすると,

f(x)=x

g (x)= { ( logx ) 2 } =2 1 x ( logx ) 21 = 2 x ( logx )

となる.

よって,

(logx) 2 dx

=x ( logx ) 2 x 2 x ( logx ) dx

=x ( logx ) 2 2logx dx

=x ( logx ) 2 2 logx dx    ・・・・・・(1)

ここで, logx dx について部分積分をする.

部分積分法の公式から,

logx dx= 1logx dx

とおく.

f (x)=1

g(x)=logx

とすると,

f(x)=x

g (x)= 1 x

となる.

よって,(1)の続きを計算すると,

与式 =x ( logx ) 2 2 logx dx

=x ( logx ) 2 2{ x (logx) dx }

=x ( logx ) 2 2{ x( logx ) x 1 x dx }

=x ( logx ) 2 2{ xlogx 1 dx }

=x ( logx ) 2 2{ xlogxx }+C

=x ( logx ) 2 2xlogx2x+C           ( C は積分定数)


ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>> (logx) 2 dx

最終更新日: 2023年11月14日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)