問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

関数のべき級数展開

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

${\displaystyle cosx}$

■ヒント

${\displaystyle f\left(x\right)=cosx}$ とおいて，微分を順次行い ${\displaystyle f^{\left(5\right)}\left(x\right)}$ まで導関数を求める．

そして，各々に各々の導関数の ${\displaystyle x=0}$ の値， ${\displaystyle f^{\prime }\left(0\right),f^{″}\left(0\right),\cdots ,f^{\left(5\right)}\left(0\right)}$ を求める．

最後に，求めた値を マクローリン展開 の式に代入する．

■答

${\displaystyle f\left(x\right)=cosx}$ とおく．

すなわち，${\displaystyle m=0,1,2,3,\cdots }$ に対して，

${\displaystyle f^{\left(n\right)}\left(0\right)=\left\{\begin{array}{l}0\left(n=2m+1\right)\\ 1\left(n=4m\right)\\ -1\left(n=4m+2\right)\end{array}\right.}$

ゆえに，

${\displaystyle \cos x}$${\displaystyle =f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2}$${\displaystyle +\frac{f^{‴}(0)}{3!}{x}^3}$${\displaystyle +\cdots }$${\displaystyle +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n}$${\displaystyle +\cdots }$

${\displaystyle =1+0\cdot x+\frac{-1}{2!}{x}^2+\frac{0}{3!}{x}^3}$${\displaystyle +\frac{1}{4!}{x}^4+\frac{0}{5!}{x}^5}$${\displaystyle +\frac{-1}{6!}{x}^6+\cdots }$

${\displaystyle =1-\frac{1}{2!}{{\displaystyle x}}^2+\frac{1}{4!}{{\displaystyle x}}^4-\frac{1}{6!}{{\displaystyle x}}^6+\cdots }$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月12日

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