問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

関数のべき級数展開

■問題

次の関数をべき級数展開マクローリン展開)をせよ.

log 1 + 2 x 1 2 x

■ヒント

対数の性質 log a R S = log a R log a S を利用して式を変形する.

各項を f ( x ) = log ( 1 + x ) の形に変形し, べき級数展開を行う.

f ( x ) = log ( 1 + x ) べき級数展開は,

log( 1+x ) =x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 ++ ( 1 ) n1 ( n1 )! n! x n +

となる.

これの    x 2x,2x をそれぞれ代入して計算する.

■答

log 1+2x 12x = log ( 1+2x ) log ( 12x )

対数の性質を利用する.)

各項を別々に計算すると,

log( 1+2x ) =2x 1 2 ( 2x ) 2 + 1 3 ( 2x ) 3 1 4 ( 2x ) 4 + 1 5 ( 2x ) 5 1 6 ( 2x ) 6 +

=2x 4 2 x 2 + 8 3 x 3 16 4 x 4 + 32 5 x 5 64 6 x 6 +

=2x2 x 2 + 8 3 x 3 4 x 4 + 32 5 x 5 32 3 x 6 +

log(12x)=log{ 1+( 2x ) }

=2x 1 2 ( 2x ) 2 + 1 3 ( 2x ) 3 1 4 ( 2x ) 4 + 1 5 ( 2x ) 5 1 6 ( 2x ) 6 +

= 2 x 4 2 x 2 8 3 x 3 16 4 x 4 32 5 x 5 64 6 x 6

= 2 x 2 x 2 8 3 x 3 4 x 4 32 5 x 5 32 3 x 6

となるので

log 1+2x =2x2 x 2 + 8 3 x 3 4 x 4 + 32 5 x 5 32 3 x 6 + )log 12x =2x2 x 2 8 3 x 3 4 x 4 32 5 x 5 32 3 x 6 ¯ log 1+2x log 12x =2 2x+ 8 3 x 3 + 32 5 x 5 +

よって,

log 1+2x 12x =4x+ 16 3 x 3 + 64 5 x 5 +

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年12月12日

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