問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }rsin\theta drd\theta }$　　${\displaystyle \left(D:\frac{\pi }{3}\leqq \theta \leqq \pi ,0\leqq r\leqq 4\right)}$

■答

${\displaystyle 12}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle \theta }$ を定数とみなして ${\displaystyle r}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle \theta }$ で積分する．

■解説

${\displaystyle \underset{D}{\iint }rsin\theta drd\theta }$

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle r}$ と変数 ${\displaystyle \theta }$ の積分範囲を決定する．

${\displaystyle ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }\left\{{\int }_0^{4}rsin\theta dr\right\}d\theta }$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{4}r\sin \theta dr}$ を計算する．${\displaystyle \theta }$ を定数とみなして ${\displaystyle r}$ について積分する．

${\displaystyle ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }{\left[\frac{1}{2}{r}^{2}sin\theta \right]}_0^{4}d\theta }$

${\displaystyle ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }\left(\frac{1}{2}·4^{2}sin\theta -\frac{1}{2}·0^{2}sin\theta \right)d\theta }$

${\displaystyle ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }8sin\theta d\theta }$

重積分の基本公式から8をくくりだす．

${\displaystyle =8{\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }sin\theta d\theta }$

積分結果を更に ${\displaystyle \theta }$ で積分する．

${\displaystyle =8{\left[-cos\theta \right]}_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }}$

${\displaystyle =8\left(-cos\pi +cos\frac{\pi }{3}\right)}$

${\displaystyle =8\left(1+\frac{1}{2}\right)}$

${\displaystyle =8·\frac{3}{2}}$

${\displaystyle =12}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月2日

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