重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} {(x - y)}^{2} d x d y$ 　　 $(D : | x + 2 | ≦ 1, | x - 2 y | ≦ 1)$

■答

$\frac{7}{3}$

■ヒント

領域 $D$ より変数 $x$ と変数 $y$ の積分範囲を決定する．

次に， $x$ を定数とみなして $y$ について積分し，その結果を更に $x$ で積分する．

■解説

領域 $D$ より

$| x + 2 |$ $≦ 1$

$- 1 ≦ x + 2$ $≦ 1$

$- 3 ≦ x ≦ - 1$

$| x - 2 y |$ $≦ 1$

$- 1 ≦ x - 2 y$ $≦ 1$

$- x - 1 ≦ - 2 y$ $≦ - x + 1$

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} ≧ y$ $≧ \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} ≦ y$ $≦ \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

以上から領域 $D$ は

$D : - 3 ≦ x ≦ - 1$ ， $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} ≦ y ≦ \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

となる．よって

$\iint_{D} {(x - y)}^{2} d x d y$

重積分する関数を展開する．

$= \iint_{D} (x^{2} - 2 x y + y^{2}) d x d y$

$= \int_{- 3}^{- 1} (\int_{\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x y + y^{2}) d y) d x$

まず， $(\int_{\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x y + y^{2}) d y)$ を積分する． $x$ を定数とみなして $y$ で積分する．

$= \int_{- 3}^{- 1} {[x^{2} y - x y^{2} + \frac{1}{3} y^{3}]}_{\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}} d x$

$= \int_{- 3}^{- 1} [x^{2} (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}) - x {(\frac{1}{2} x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} x + \frac{1}{2})}^{3}$

$- {x^{2} (\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) - x {(\frac{1}{2} x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} x - \frac{1}{2})}^{3}}] d x$

$= \int_{- 3}^{- 1} [\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} x {(x + 1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot \frac{1}{3} {(x + 1)}^{3}$

$- {\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} x {(x - 1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot \frac{1}{3} {(x - 1)}^{3}}] d x$

$= \int_{- 3}^{- 1} [\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} x (x^{2} + 2 x + 1) + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)$

$- {\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} x (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)}] d x$

$= \int_{- 3}^{- 1} [\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} x + \frac{1}{24} (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)$

$- {\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} x + \frac{1}{24} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)}] d x$

$= \int_{- 3}^{- 1} {\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{4} x + \frac{1}{24} x^{3} + \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{8} x + \frac{1}{24}$

$- (\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{4} x + \frac{1}{24} x^{3} - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{8} x - \frac{1}{24})} d x$

$= \int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{4} x + \frac{1}{24} x^{3} + \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{8} x + \frac{1}{24}$

$- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{4} x - \frac{1}{24} x^{3} + \frac{1}{8} x^{2} - \frac{1}{8} x + \frac{1}{24}) d x$

$= \int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{24}) d x$

$= \int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{12}) d x$

重積分の公式から $\frac{1}{4}$ を積分記号の前にくくりだす．

$= \frac{1}{4} \int_{- 3}^{- 1} (x^{2} + \frac{1}{3}) d x$

更に $x$ で積分する．

$= \frac{1}{4} {[\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x]}_{- 3}^{- 1}$

$= \frac{1}{12} {[x^{3} + x]}_{- 3}^{- 1}$

$= \frac{1}{12} [{(- 1)}^{3} - 1 - {{(- 3)}^{3} - 3}]$

$= \frac{1}{12} {- 1 - 1 - (- 27 - 3)}$

$= \frac{1}{12} (- 2 + 27 + 3)$

$= \frac{1}{12} \cdot 28$

$= \frac{7}{3}$

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最終更新日： 2023年8月3日