重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} (2 x y + 3 y^{2}) d x d y$ 　　 $(D : x^{2} ≦ y ≦ x)$

$\frac{4}{21}$

はじめに領域 $D$ を作図し， $x$ ， $y$ の積分範囲を決定する．

次に， $x$ を定数とみなして $y$ について積分し，その結果を更に $x$ で積分する．

領域 $D$ は

$x^{2} ≦ y ≦ x$

であることより

曲線 $y = x^{2}$ 　･･････(1)

直線 $y = x$ 　･･････(2)

で囲まれた領域である． (1)，(2) の交点を求めると，

$x^{2} = x$

$x^{2} - x = 0$

$x (x - 1) = 0$

$x = 0, 1$

$y = x$ の関係から交点は $(0, 0), (1, 1)$ の2点となる．

領域 $D$ を作図すると図のようになる．

これより積分範囲を決定すると

$\iint_{D} (2 x y + 3 y^{2}) d x d y$

$= \int_{0}^{1} (\int_{x^{2}}^{x} (2 x y + 3 y^{2}) d y) d x$

まず， $\int_{x^{2}}^{x} (2 x y + 3 y^{2}) d y$ を計算する． $x$ を定数とみなして $y$ について積分する．

$= \int_{0}^{1} {[x y^{2} + y^{3}]}_{x^{2}}^{x} d x$

$= \int_{0}^{1} [x \cdot x^{2} + x^{3} - {x \cdot {(x^{2})}^{2} + {(x^{2})}^{3}}] d x$

指数法則を利用する．

$= \int_{0}^{1} {x^{3} + x^{3} - (x \cdot x^{4} + x^{6})} d x$

更に $x$ で積分する．

$= \int_{0}^{1} {2 x^{3} - (x^{5} + x^{6})} d x$

$= \int_{0}^{1} (2 x^{3} - x^{5} - x^{6}) d x$

$= \int_{0}^{1} (- x^{6} - x^{5} + 2 x^{3}) d x$

$= {[- \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{2} x^{4}]}_{0}^{1}$

$= - \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{2} \cdot 1^{4}$

$- (- \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{2} \cdot 0^{4})$

$= - \frac{1}{7} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

$= \frac{- 6 - 7 + 21}{42}$

$= \frac{8}{42}$

$= \frac{4}{21}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月3日