問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D ( 2x+y )dxdy    ( D: x 2 yx+2 )

■答

117 10

■ヒント

はじめに領域 D を作図し, x y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D

x 2 yx+2

であることより

曲線   y= x 2  ・・・・・・(1)

直線   y=x+2  ・・・・・・(2)

で囲まれた領域である.(1),(2)の の交点を求めると

x 2 = x + 2

x 2 x 2 = 0

( x + 1 ) ( x 2 ) = 0

x=1,2

q3-4

y=x+2 にそれぞれ代入することにより,交点は ( 1 , 1 ) , ( 2 , 4 ) の2点となる.

領域 D を作図すると右図のようにな.

これより積分範囲を決定すると

D ( 2 x + y ) d x d y

= 1 2 ( x 2 x + 2 ( 2 x + y ) d y ) d x

まず, x 2 x+2 2x+y dy を計算する. x を定数とみなして y について積分する. 

= 1 2 [ 2 x y + 1 2 y 2 ] x 2 x + 2 d x

= 1 2 [ 2 x ( x + 2 ) + 1 2 ( x + 2 ) 2 { 2 x · x 2 + 1 2 ( x 2 ) 2 } ] d x

= 1 2 { 2 x 2 + 4 x + 1 2 ( x 2 + 4 x + 4 ) ( 2 x 3 + 1 2 x 4 ) } d x

更に x で積分する. 

= 1 2 ( 2 x 2 + 4 x + 1 2 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 1 2 x 4 ) d x

= 1 2 ( 1 2 x 4 2 x 3 + 4 + 1 2 x 2 + 6 x + 2 ) d x

= 1 2 ( 1 2 x 4 2 x 3 + 5 2 x 2 + 6 x + 2 ) d x

= [ 1 10 x 5 1 2 x 4 + 5 6 x 3 + 3 x 2 + 2 x ] 1 2

= 1 10 · 2 5 1 2 · 2 4 + 5 6 · 2 3 + 3 · 2 2 + 2 · 2

{ 1 10 · ( 1 ) 5 1 2 · ( 1 ) 4 + 5 6 · ( 1 ) 3 + 3 · ( 1 ) 2 + 2 · ( 1 ) }

= 16 5 8 + 20 3 + 12 + 4 ( 1 10 1 2 5 6 + 3 2 )

= 16 5 + 20 3 + 8 1 10 + 1 2 + 5 6 1

= 96 + 200 + 240 3 + 15 + 25 30 30

= 351 30

= 117 10

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月3日

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