問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

変数変換

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\left(x^3+y^3\right)}dxdy}$ 　　 ${\displaystyle \left(D:0\leqq x+y\leqq 1,-1\leqq x-2y\leqq 2\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{11}{36}}$

■ヒント

${\displaystyle x+y=u}$ ，${\displaystyle x-2y=v}$ とおく変数変換により，積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする．

■解き方

領域${\displaystyle D}$　 領域${\displaystyle D^{\prime }}$

${\displaystyle x+y=u}$，${\displaystyle x-2y=v}$ とおくと

${\displaystyle x=\frac{1}{3}\left(2u+v\right)}$ ，${\displaystyle y=\frac{1}{3}\left(u-v\right)}$

となる．よって，この変数変換によるヤコビアンは

${\displaystyle J\left(u,v\right)=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right|}$${\displaystyle =-\frac{1}{3}}$

となる．変数変換によって${\displaystyle \left(x,y\right)}$ の領域$D$ は${\displaystyle \left(u,v\right)}$ の領域${\displaystyle D^{\prime }}$

${\displaystyle \left(D^{\prime }:0\leqq u\leqq 1,-1\leqq v\leqq 2\right)}$

に変換される．よって

(与式)${\displaystyle ={{\displaystyle \iint }}_{D^{\prime }}\left(\frac{u^3}{3}+\frac{u^{2}v}{3}+\frac{u{v}^2}{3}\right)\frac{1}{3}dudv}$

${\displaystyle =\frac{1}{9}{\displaystyle {\int }_0^1\left\{{{\displaystyle \int }}_{-1}^2\left(u^3+u^{2}v+u{v}^2\right)dv\right\}du}}$

${\displaystyle =\frac{1}{9}{\displaystyle {\int }_0^1{\left[u^{3}v+\frac{1}{2}{u}^2{v}^2+\frac{1}{3}u{v}^3\right]}_{-1}^{2}du}}$

${\displaystyle =\frac{1}{9}{\displaystyle {\int }_0^1\left(3u^3+\frac{3}{2}{u}^2+3u\right)}du}$

${\displaystyle =\frac{1}{9}{\left[\frac{3}{4}{u}^4+\frac{1}{2}{u}^3+\frac{3}{2}{u}^2\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\frac{11}{36}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月19日

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