公式の証明

$3$\displaystyle{ f $D$ \[ {e}^{ \alpha x }y \] ={e}^{ \alpha x }f $ D+\alpha $ y }$

■証明

$3$\displaystyle{ D \[ {e}^{ \alpha x }y \] = $ D{e}^{ \alpha x } $ y+{e}^{ \alpha x }Dy }$

$3$\displaystyle{ =\alpha {e}^{ \alpha x }y+{e}^{ \alpha x }Dy }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{ \alpha x } $ D+\alpha $ y }$

$3$\displaystyle{ {D}^{2} \[ {e}^{ \alpha x }y \] =D \[ D \[ {e}^{ \alpha x }y \] \] }$

$3$\displaystyle{ =D \[ {e}^{ \alpha x } $ D+\alpha $ y \] }$

$3$\displaystyle{ = $ D{e}^{ \alpha x } $ $ D+\alpha $ y+{e}^{ \alpha x }D $ D+\alpha $ y }$

$3$\displaystyle{ =\alpha {e}^{ \alpha x } $ D+\alpha $ y+{e}^{ \alpha x }D $ D+\alpha $ y }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{ \alpha x } \{ \alpha $ D+\alpha $ y+D $ D+\alpha $ y \} }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{ \alpha x } $ \alpha +D $ $ D+\alpha $ y }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{ \alpha x }{ $ D+\alpha $ }^{2}y }$

$3$\displaystyle{\vdots }$

$3$\displaystyle{ {D}^{n} \[ {e}^{ \alpha x }y \] ={e}^{ \alpha x }{ $ D+\alpha $ }^{n}y }$

$3$\displaystyle{\vdots }$

が成り立つ．

一般的に

$3$\displaystyle{ f $D$ ={D}^{n}+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{D}^{ n- 1 }+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2} }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{0} }$

と表わすことができる．

$3$\displaystyle{ f $D$ {e}^{ \alpha x }y= $ {D}^{n}+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{D}^{ n- 1 }+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}+\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{0} $ {e}^{ \alpha x }y }$

$3$\displaystyle{ ={D}^{n}{e}^{ \alpha x }y+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{D}^{ n- 1 }{e}^{ \alpha x }y+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}{e}^{ \alpha x }y+\hspace{1}{a}_{1}D{e}^{ \alpha x }y+\hspace{1}{a}_{0}{e}^{ \alpha x }y }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{ \alpha x }{ $ D+\alpha $ }^{n}y+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{e}^{ \alpha x }{ $ D+\alpha $ }^{ n- 1 }y+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{e}^{ \alpha x }{ $ D+\alpha $ }^{2}y+\hspace{1}{a}_{1}{e}^{ \alpha x } $ D+\alpha $ y+\hspace{1}{a}_{0}{e}^{ \alpha x }y }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{ \alpha x } \{ { $ D+\alpha $ }^{n}y+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{ $ D+\alpha $ }^{ n- 1 }y+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{ $ D+\alpha $ }^{2}y+\hspace{1}{a}_{1} $ D+\alpha $ y+\hspace{1}{a}_{0}y \} }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{ \alpha x } \{ { $ D+\alpha $ }^{n}+\hspace{1}{a}_{ n- 1 }{ $ D+\alpha $ }^{ n- 1 }+\cdots +\hspace{1}{a}_{2}{ $ D+\alpha $ }^{2}+\hspace{1}{a}_{1} $ D+\alpha $ +\hspace{1}{a}_{0} \} y }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{ \alpha x }f $ D+\alpha $ y }$

となる．よって

$3$\displaystyle{ f $D$ {e}^{ \alpha x }y={e}^{ \alpha x }f $ D+\alpha $ y }$

が成り立つ．

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最終更新日： 2024年5月17日