微分方程式の解

一般解

　　任意定数を含む微分方程式の解を一般解という．

特殊解

　　一般解における任意定数が特定の値をとったものを特殊解という．

■例

微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=x}$ ･･････(1)

の解を求める．

(1)の両辺を $3$\displaystyle{x}$ で積分することにより

$3$\displaystyle{y=\displaystyle{ \int xdx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C}$ ( $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

よって微分方程式(1)の一般解は

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C}$ ･･････(2)　　( $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

となる．

一般解(2)において $3$\displaystyle{x=0}$ の時， $3$\displaystyle{y=2}$ であったとすると，

$3$\displaystyle{C=2}$

となり，任意定数 $3$\displaystyle{C}$ の値が定まる．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+2}$

を特殊解という．

学生スタッフ作成
　最終更新日： 2024年5月17日