円の接線の方程式

原点を中心とする半径 $3$a$ の円周上の点P $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0} $ }$ における接線の方程式は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}x+\hspace{1}{y}_{0}y={a}^{2}}$

である．

■導出計算

円の方程式は

$3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}$

である．この両辺を $3$x$ で微分すると

$3$\displaystyle{2x+2y\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=0}$

となり， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ について整理すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}}$

よって，P点での傾きは， $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}}}$ となる．以上より，点Pにおける接線の方程式は

$3$\displaystyle{y- \hspace{1}{y}_{0}=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}} $ x- \hspace{1}{x}_{0} $ }$

となる．この接線の方程式を更に以下のように変形する．

まず，両辺に $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{0}}$ を掛けて，

$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{0} $ y- \hspace{1}{y}_{0} $ =- \hspace{1}{x}_{0} $ x- \hspace{1}{x}_{0} $ }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}x+\hspace{1}{y}_{0}y={ \hspace{1}{x}_{0} }^{2}+{ \hspace{1}{y}_{0} }^{2}}$

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{x}_{0} }^{2}+{ \hspace{1}{y}_{0} }^{2}={a}^{2}}$ より，

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}x+\hspace{1}{y}_{0}y={a}^{2}}$

となり，上で示した接線の方程式が得られた．

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最終更新日： 2023年5月30日