オイラーの公式

$3$\displaystyle{ {e}^{ i{\theta} }=\cos {\theta}+i\sin {\theta} }$

■導出計算

$3$\displaystyle{{e}^{x}}$ をマクローリン展開すると，

$3$\displaystyle{ {e}^{x}=1+ x+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{4}+ }$ $3$\displaystyle{ \cdots \cdots + \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}}{x}^{n}+ \cdots \cdots }$ ･･････(1)

(1)の $3$x$ に形式的に $3$\displaystyle{i{\theta}}$ を代入して計算してみると，

$3$\displaystyle{\displaystyle{{e}^{ i{\theta} }=1+ $ i{\theta} $ + \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{ $ i{\theta} $ }^{2}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{ $ i{\theta} $ }^{3}}}$ $3$\displaystyle{ + \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{ $ i{\theta} $ }^{4}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5! \hspace{2}}{ $ i{\theta} $ }^{5}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 6! \hspace{2}}{ $ i{\theta} $ }^{6}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 7! \hspace{2}}{ $ i{\theta} $ }^{7} }$ $3$\displaystyle{ + \cdots \cdots }$

$3$\displaystyle{ =1+ i{\theta}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{{\theta}}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}i{{\theta}}^{3}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{{\theta}}^{4} }$ $3$\displaystyle{ + \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5! \hspace{2}}i{{\theta}}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 6! \hspace{2}}{{\theta}}^{6}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 7! \hspace{2}}i{{\theta}}^{7}+ \cdots \cdots }$

$3$\displaystyle{ = $ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{{\theta}}^{2}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{{\theta}}^{4}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 6! \hspace{2}}{{\theta}}^{6}+ \cdots \cdots $ }$ $3$\displaystyle{+i\left({ {\theta}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{{\theta}}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5! \hspace{2}}{{\theta}}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 7! \hspace{2}}{{\theta}}^{7}+\cdots \cdots }\right)}$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ のマクローリン展開は，

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{{\theta}}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{{\theta}}^{4}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 6! \hspace{2}}{{\theta}}^{6}+\cdots \cdots }$ ･･････(3)

$3$\displaystyle{\sin {\theta}}$ のマクローリン展開は，

$3$\displaystyle{\sin {\theta}={\theta}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{{\theta}}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5! \hspace{2}}{{\theta}}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 7! \hspace{2}}{{\theta}}^{7}+\cdots \cdots }$ ･･････(4)

(2)に(3)，(4)を代入すると，

$3$\displaystyle{{e}^{ i{\theta} }=\cos {\theta}+i\sin {\theta}}$

となり，オイラーの公式（Euler"s Formula）が得られた．

複素数における指数関数の定義を参照

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最終更新日： 2025年10月16日