定数倍の性質

　ここでは行列式の性質のひとつである，定数倍の性質について説明する。

　これは，行列式の1つの行（または列）の各成分に一定の数 $3$\displaystyle{c}$ 　をかけた行列式の値は，元の行列式の値の $3$\displaystyle{c}$ 　倍になるという性質である。

　■定理

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \vspace{6}\\ c\hspace{1}{a}_{ t1 } & c\hspace{1}{a}_{ t2 } &\cdots & c\hspace{1}{a}_{ tn } & \vspace{6}\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| =c \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ t1 } & \hspace{1}{a}_{ t2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ tn } & \vspace{6}\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ n2 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

また，この性質は行列式の転置における性質から，ある列の各成分に一定の数 $3$\displaystyle{c}$ 　がかけられている場合でも成立する。

　■具体例

　　例1

　　　第1行の成分が3の倍数であった場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}3&6&9& 12 & 15 & \vspace{6}\\ 2&3&4&5& 1 & \vspace{6}\\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 & \vspace{6}\\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 & \vspace{6}\\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 & \vspace{6}\\ \end{array} \| =3 \| \begin{array}1&2&3&4&5& \vspace{6}\\ 2&3&4&5& 1 & \vspace{6}\\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 & \vspace{6}\\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 & \vspace{6}\\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

　　例2

　　　第5列の成分が5の倍数であった場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}{lll}1&2&3&4& 25 & \vspace{6}\\ 2&3&4&5&5& \vspace{6}\\ 3&4&5&1& 10 & \vspace{6}\\ 4&5&1&2& 15 & \vspace{6}\\ 5&1&2&3& 20 & \vspace{6}\\ \end{array} \| =5 \| \begin{array}{lll}1&2&3&4&5& \vspace{6}\\ 2&3&4&5&1& \vspace{6}\\ 3&4&5&1&2& \vspace{6}\\ 4&5&1&2&3& \vspace{6}\\ 5&1&2&3&4& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

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初版：2008年1月9日，最終更新日： 2022年8月27日