同じ行があるときの性質

行列式の2つの行（または列）が一致するなら，その行列式の値は0になる．

$3$\displaystyle{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ s1 } & \hspace{1}{a}_{ s2 } & & \hspace{1}{a}_{ sn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ s1 } & \hspace{1}{a}_{ s2 } & & \hspace{1}{a}_{ sn } & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 11 } & \vspace{6}\\ \end{array} \| =0}$

⇒証明へ

■具体例

例1：2次の行列式の場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ a&b& \vspace{6}\\ \end{array} \| =ab- ab=0}$

例2：3次の行列式の場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}a&b&c& \vspace{6}\\ a&b&c& \vspace{6}\\ d&e&f& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=abf+bcd+cae- ace- baf- cbd}$

$3$\displaystyle{=abf- baf+bcd- cbd+cae- ace}$

$3$\displaystyle{=0}$

例3：第2行と第4行の各成分が同じであった場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}1&2&3&4&5& \vspace{6}\\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \vspace{6}\\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & \vspace{6}\\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & \vspace{6}\\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & \vspace{6}\\ \end{array} \| =0}$ s

例4：第2列と第4列の各成分が同じであった場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}1&2&3&2&5& \vspace{6}\\ 6&7&8&7& 10 & \vspace{6}\\ 11 & 12 & 13 & 12 & 15 & \vspace{6}\\ 16 & 17 & 18 & 17 & 20 & \vspace{6}\\ 21 & 22 & 23 & 22 & 25 & \vspace{6}\\ \end{array} \| =0}$

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>行列式の性質>>同じ行があるときの性質

最終更新日： 2025年7月30日