行列式の展開

$3$\displaystyle{n}$ 次の行列式 $3$\displaystyle{ \|A\| }$ について

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{ 1k }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ 1j }+ \hspace{1}{a}_{ 2k }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ 2j }+ \cdots + \hspace{1}{a}_{ nk }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ nj } }$ $3$\displaystyle{ =\left{{ \begin{array} \left|{A}\right| & \left({ k=j }\right) & \cdots $1$ & \vspace{6}\\ 0& \left({ k\neq j }\right) & \cdots $2$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ k1 }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ i1 }+ \hspace{1}{a}_{ k2 }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ i2 }+ \cdots + \hspace{1}{a}_{ kn }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ in }}$ $3$\displaystyle{ =\left{{ \begin{array} \left|{A}\right| & \left({ k=i }\right) & \cdots $3$ & \vspace{6}\\ 0& \left({ k\neq i }\right) & \cdots $4$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

が成り立つ．

ただし， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ ij }}$ は $3$\displaystyle{n}$ 次の正方行列 $3$\displaystyle{\displaystyle{A}}$ の成分で， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\tilde{a}}_{ ij }}$ は成分 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ ij }}$ の余因子である.

(1)を行列式 $3$\displaystyle{ \|A\| }$ の $3$\displaystyle{j}$ 列での展開式とい，この展開する操作を $3$\displaystyle{j}$ 列で余因子展開するという．

(3)を行列式 $3$\displaystyle{ \|A\| }$ の $3$\displaystyle{i}$ 行での展開式とい，この展開する操作を $3$\displaystyle{i}$ 行で余因子展開するという．

■導出

● $3$\displaystyle{ k=j }$ の場合

＊ $3$\displaystyle{ j\neq 1 }$ の時

$3$\displaystyle{ \left({A}\right) = \| \begin{array}\text{\hspace{1}}\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1j- 2 } & \hspace{1}{a}_{ 1j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 1j } &\cdots & \vspace{6}\\ \cdots & \hspace{1}{a}_{ 2j- 2 } & \hspace{1}{a}_{ 2j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 2j } &\cdots & \vspace{6}\\ &\vdots &\vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ \cdots & \hspace{1}{a}_{ nj- 2 } & \hspace{1}{a}_{ nj- 1 } & \hspace{1}{a}_{ nj } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{ j- 1 }$ 列とｊ列を入れ換える．行列の符号が変わることに注意する．

$3$\displaystyle{ =- \| \begin{array}\text{\hspace{1}}\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1j- 2 } & \hspace{1}{a}_{ 1j } & \hspace{1}{a}_{ 1j- 1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \cdots & \hspace{1}{a}_{ 2j- 2 } & \hspace{1}{a}_{ 2j } & \hspace{1}{a}_{ 2j- 1 } &\cdots & \vspace{6}\\ &\vdots &\vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ \cdots & \hspace{1}{a}_{ nj- 2 } & \hspace{1}{a}_{ nj } & \hspace{1}{a}_{ nj- 1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{ j- 2 }$ 列と $3$\displaystyle{ j- 1 }$ 列を入れ換える．行列の符号が変わることに注意する．

$3$\displaystyle{ ={ $ - 1 $ }^{2} \| \begin{array}\text{\hspace{1}}\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1j } & \hspace{1}{a}_{ 1j- 2 } & \hspace{1}{a}_{ 1j- 1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \cdots & \hspace{1}{a}_{ 2j } & \hspace{1}{a}_{ 2j- 2 } & \hspace{1}{a}_{ 2j- 1 } &\cdots & \vspace{6}\\ &\vdots &\vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ \cdots & \hspace{1}{a}_{ nj } & \hspace{1}{a}_{ nj- 2 } & \hspace{1}{a}_{ nj- 1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

　　　 $3$\displaystyle{\vdots }$ 　 $3$\displaystyle{ $ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 1j } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 2j } & \vspace{6}\\ \vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ nj } & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ が第1列にくるまで同様に隣の列と入れ換えを繰り返す．

$3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{ j- 1 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 1j } & \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 1j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 1j+1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 2j } & \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 2j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 2j+1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ nj } & \hspace{1}{a}_{ n1 } & \hspace{1}{a}_{ nj- 1 } & \hspace{1}{a}_{ nj+1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

＊ $3$\displaystyle{ j=1 }$ の時は上の操作は不要である．

$3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{ j- 1 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 1j }+0 & \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ 0+\hspace{1}{a}_{ 2j } & \hspace{1}{a}_{ 21 } &\cdots & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ 0+\hspace{1}{a}_{ nj } & \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

同様にして

$3$\displaystyle{ ={ $ - 1 $ }^{ j- 1 } \left{{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 1j } & \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} \| + \| \begin{array}0& \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 2j } & \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} \| + \| \begin{array}0& \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ 12 } &\cdots & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ nj } & \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} \| }\right} }$

第2番目以降の行列式について，第 $3$i$ 番目の行列式の第 $3$i$ 行を第1行に移動させるため隣接する行との入れ換えを繰り返すと

$3$\displaystyle{ ={ $ - 1 $ }^{ j- 1 } \left{{ \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 1j } & \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ 21 } &\cdots & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} \| +{ $ - 1 $ }^{1} \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 2j } & \hspace{1}{a}_{ 21 } &\cdots & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} \| +\cdots +{ $ - 1 $ }^{ n- 1 } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ nj } & \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ n- 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} \| }\right} }$

$3$ ={ \left({ - 1 }\right) }^{ j- 1 }\left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 1j } & \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ 21 } &\cdots & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|+{ \left({ - 1 }\right) }^{j}\left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 2j } & \hspace{1}{a}_{ 21 } &\cdots & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|+\cdots +{ \left({ - 1 }\right) }^{ j+n- 2 }\left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ nj } & \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{a}_{ n- 11 } &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|$

$3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{ j- 1 }\hspace{1}{a}_{ 1j } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 21 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 2j+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 3j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 3j+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 3n } & \vspace{6}\\ \vdots & &\vdots &\vdots & &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nj- 1 } & \hspace{1}{a}_{ nj+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{ +{ $ - 1 $ }^{j}\hspace{1}{a}_{ 2j } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 1j+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 3j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 3j+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 3n } & \vspace{6}\\ \vdots & &\vdots &\vdots & &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nj- 1 } & \hspace{1}{a}_{ nj+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$+{\left({ - 1 }\right)}^{ j+i- 2 }\hspace{1}{a}_{ ij }\left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 1j+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots & & & &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ i- 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ i- 1j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ i- 1j+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ i- 11 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ i+11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ i+1j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ i+1j+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ i+1j+1 } & \vspace{6}\\ \vdots & & & &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nj- 1 } & \hspace{1}{a}_{ nj+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nn } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|$ $3$\displaystyle{ +\cdots +{ $ - 1 $ }^{ j+n- 2 }\hspace{1}{a}_{ nj } \| \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 1j+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots & & & &\vdots & \vspace{6}\\ \vdots & & & &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n- 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ n- 1j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ n- 1j+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ n- 1n } & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{ { $ - 1 $ }^{ j+i- 2 }={ $ - 1 $ }^{ j+i }\cdot { $ - 1 $ }^{ - 2 }={ $ - 1 $ }^{ j+i } }$ ，および，余因子 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\tilde{a}}_{ ij }}$ より

$3$\displaystyle{ =\hspace{1}{a}_{ 1j }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ 1j }+ \hspace{1}{a}_{ 2j }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ 2j }+ \cdots + \hspace{1}{a}_{ nj }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ nj } }$ となる．

すなわち

$3$\displaystyle{ \left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1j } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2j } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nj } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nm } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{a}_{ 1j }\hspace{1}{ \tilde{a} }_{ 1j }+\hspace{1}{a}_{ 2j }\hspace{1}{ \tilde{a} }_{ 2j }+\cdots +\hspace{1}{a}_{ nj }\hspace{1}{ \tilde{a} }_{ nj } }$

この式を行列式 $3$\displaystyle{ \|A\| }$ の $3$\displaystyle{j}$ 列での展開式という．

以上の計算は， $3$3$ 次の行列式 $3$\displaystyle{\left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } & \hspace{1}{a}_{ 12 } & \hspace{1}{a}_{ 13 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } & \hspace{1}{a}_{ 22 } & \hspace{1}{a}_{ 23 } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 31 } & \hspace{1}{a}_{ 32 } & \hspace{1}{a}_{ 33 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$ を $3$3$ 列での余因子展開の導出過程を参考にするとよい．

このように行列式 $3$\displaystyle{ \|A\| }$ を行列 $3$\displaystyle{A}$ の成分とその余因子の積の和にすることを余因子展開するともいう．

● $3$\displaystyle{k\neq j}$ の場合

$3$\displaystyle{\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 1k }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ 1j }+ \hspace{1}{a}_{ 2k }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ 2j }+ \cdots + \hspace{1}{a}_{ nj }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ nj }}}$ $3$\displaystyle{=\left|{ \begin{array} \hspace{1}{a}_{ 11 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1k } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 1k } & \hspace{1}{a}_{ 1j+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 1n } & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ 21 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2j } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2j- 1 } & \hspace{1}{a}_{ 2k } & \hspace{1}{a}_{ 2j+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ 2n } & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots & & & & & & &\vdots & \vspace{6}\\ \vdots & & & & & & &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nj } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nj- 1 } & \hspace{1}{a}_{ nk } & \hspace{1}{a}_{ nj+1 } &\cdots & \hspace{1}{a}_{ nm } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

となり，第 $3$k$ 列の成分と第 $3$j$ 列の成分が等しくなる．

よってこの性質より

$3$\displaystyle{\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 1k }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ 1j }+ \hspace{1}{a}_{ 2k }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ 2j }+ \cdots + \hspace{1}{a}_{ nj }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ nj }=0}}$

となる．

２つ目の式の証明は1つ目の式の証明の行の操作と列の操作を入れ換えて同様に証明することができる．

$3$\displaystyle{ \mid A\mid = \left({\begin{array}\hspace{1}{a}_{11}&\hspace{1}{a}_{12}&\cdots &\hspace{1}{a}_{ 1n }& \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ k1 }&\hspace{1}{a}_{ k2 }&\cdots &\hspace{1}{a}_{ kn }& \vspace{6}\\ \vdots &\vdots & & & \vspace{6}\\ \hspace{1}{a}_{ n1 }&\hspace{1}{a}_{ n2 }&\cdots &\hspace{1}{a}_{ nn }& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ k1 }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ k1 }+ \hspace{1}{a}_{ k2 }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ k2 }+ \cdots + \hspace{1}{a}_{ kn }\hspace{1}{\tilde{a}}_{ kn }}$

を行列式 $3$\displaystyle{ \|A\| }$ のk行での展開式という．

■具体例

例1 第1行で展開した場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}1&2&3& \vspace{6}\\ 2&3&1& \vspace{6}\\ 3&1&2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{ =1\times { \left({ - 1 }\right) }^{ 1+1 }\left|{ \begin{array}3&1& \vspace{6}\\ 1&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|+2\times { \left({ - 1 }\right) }^{ 1+2 }\left|{ \begin{array}2&1& \vspace{6}\\ 3&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ +3\times { \left({ - 1 }\right) }^{ 1+3 }\left|{ \begin{array}2&3& \vspace{6}\\ 3&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

$3$\displaystyle{ =1\times \left({ 6- 1 }\right)- 2\times \left({ 4- 3 }\right) }$ $3$\displaystyle{ +3\times \left({ 2- 9 }\right) }$

$3$\displaystyle{=5- 2- 21}$

$3$\displaystyle{=- 18}$

例2　第1列で展開した場合

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}4&5&6& \vspace{6}\\ 5&6&4& \vspace{6}\\ 6&4&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=4\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 1+1 }\left|{ \begin{array}6&4& \vspace{6}\\ 4&5& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|+5\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 2+1 }\left|{ \begin{array}5&6& \vspace{6}\\ 4&5& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$ $3$\displaystyle{+6\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 3+1 }\left|{ \begin{array}5&6& \vspace{6}\\ 6&4& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$