2次元回転行列の導出

2次元直交座標平面において，原点を中心に $3$\displaystyle{{\theta}}$ だけ回転する変換を表す回転行列を $3$\displaystyle{R${\theta}$}$ とすると，基本ベクトル $3$\displaystyle{ \displaystyle{i}= $\begin{array}1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ， $3$\displaystyle{ \displaystyle{j}= $\begin{array}0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ は $3$\displaystyle{R${\theta}$}$ によって，

$3$\displaystyle{ R${\theta}$\displaystyle{i}=R${\theta}$ $\begin{array}1& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ = $\begin{array} \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \sin {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array}$ }$

$3$\displaystyle{ R${\theta}$\displaystyle{j}=R${\theta}$ $\begin{array}0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ = $\begin{array} - \sin {\theta} & \vspace{6}\\ \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array}$ }$

のように変換される．このことから，一般のベクトル $3$\displaystyle{ \displaystyle{r}= $\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =x\displaystyle{i}+y\displaystyle{j} }$ を $3$\displaystyle{R${\theta}$}$ によって変換すると

$3$\displaystyle{ R${\theta}$\displaystyle{r}=R${\theta}$$x\displaystyle{i}+y\displaystyle{j}$ }$ $3$\displaystyle{ =xR${\theta}$\displaystyle{i}+yR${\theta}$\displaystyle{j} }$ $3$\displaystyle{ =x $\begin{array} \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \sin {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array}$ +y $\begin{array} - \sin {\theta} & \vspace{6}\\ \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ = $\begin{array} x\cos {\theta}- y\sin {\theta} & \vspace{6}\\ x\sin {\theta}+y\cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ = $\begin{array} \cos {\theta} & - \sin {\theta} & \vspace{6}\\ \sin {\theta} & \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array}$ $\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$

となるので，

$3$\displaystyle{ R${\theta}$= $\begin{array} \cos {\theta} & - \sin {\theta} & \vspace{6}\\ \sin {\theta} & \cos {\theta} & \vspace{6}\\ \end{array}$ }$

である．

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最終更新日：2023年1月13日