単位行列

任意の正方行列 $3$\displaystyle{A}$ に対して

$3$\displaystyle{AE=EA=A}$

となる行列 $3$\displaystyle{E}$ を単位行列という．

2行2列の正方行列の単位行列 $3$\displaystyle{E}$ は，

$3$\displaystyle{E= $ \begin{array}1&0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

3行3列の正方行列の単位行列 $3$\displaystyle{E}$ は，

$3$\displaystyle{E= $ \begin{array}1&0&0& \vspace{6}\\ 0&1&0& \vspace{6}\\ 0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

である．

■単位行列の導出

2行2列の正方行列の単位行列 $3$\displaystyle{E}$ を求める．単位行列の定義 $3$\displaystyle{AE=A}$ より，

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{E= $ \begin{array}p&q& \vspace{6}\\ r&s& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ とおくと，　

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}p&q& \vspace{6}\\ r&s& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

となる．行列の積より，

$3$\displaystyle{ $ \begin{array} ap+br & aq+bs & \vspace{6}\\ cp+dr & cq+ds & \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

と計算され，行列の各成分を比較することにより，連立方程式

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}ap+br=a& \vspace{6}\\ aq+bs=b& \vspace{6}\\ cp+dr=c& \vspace{6}\\ cq+ds=d& \vspace{6}\\ \end{array} }$

が得られる．この連立方程式を整理すると，

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}a $ p- 1 $ +br=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $1$& \vspace{6}\\ aq+b $ s- 1 $ =0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $2$& \vspace{6}\\ c $ p- 1 $ +dr=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $3$& \vspace{6}\\ cq+d $ s- 1 $ =0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $4$& \vspace{6}\\ \end{array} }$