平均

いま， $3$\displaystyle{n}$ 個のデータの値が $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{x}_{2},\cdots ,\hspace{1}{x}_{n} }$ とあるとき，その平均 $3$\displaystyle{\bar{x}}$ は

$3$\displaystyle{ \bar{x}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} $ \hspace{1}{x}_{1}+\hspace{1}{x}_{2}+\cdots +\hspace{1}{x}_{n} $ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i} } }$ 　

で定義される．(和記号Σ参照）

取り扱うデータが確率変数 $3$X$ である場合，平均を $3$E\left({X}\right)$ という表現を用いて

$3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{x}_{i}}$

定義される．この平均のことを期待値ともいう． $3$E\left({X}\right)$ の $3$E$ はExpected Value(期待値)の頭文字である．

確率関数 $3$f\left({x}\right)$ を用いると

離散型確率変数の場合： $3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{x}_{i}f\left({ \hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$
連続型確率変数の場合： $3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} xf\left({x}\right)dx }}$

■例

10個のデータ

$3$\displaystyle{5}$ , $3$\displaystyle{7}$ , $3$\displaystyle{ 11 }$ , $3$\displaystyle{4}$ , $3$\displaystyle{8}$ , $3$\displaystyle{ 15 }$ , $3$\displaystyle{9}$ , $3$\displaystyle{8}$ , $3$\displaystyle{ 10 }$ , $3$\displaystyle{ 11 }$

の平均 $3$\displaystyle{\bar{x}}$ は

$3$\displaystyle{ \bar{x}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}} $ 5+7+11+4+8+15+9+8+10+11 $ }$

$3$\displaystyle{ =8.8 }$

となる．

個々のデータを幅が１で高さがデータ値となる長方形を図のように横に並べると，平均は10個の長方形の面積の和と同じ面積になる幅が10の長方形の高さになる．

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　最終更新日： 2025年4月25日