共分散（covariance）

共分散 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy }}$ とは，二つの変量 $3$\displaystyle{ x,y }$ の相関の程度を表したものであり，二つの変量がそれぞれ $3$\displaystyle{n}$ 個あるとき

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\left({ \hspace{1}{x}_{i}- \bar{x} }\right)\left({ \hspace{1}{y}_{i}- \bar{y} }\right)}$ 　･･････(1)

と定義されている．なお，計算する際は上(1)を用いると計算が煩雑になることが多いため，(1)を以下のように変形して用いるとよい．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\left({ \hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{y}_{i}- \bar{x}\hspace{1}{y}_{i}- \bar{y}\hspace{1}{x}_{i}+\bar{x}\bar{y} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{y}_{i}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\bar{x}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{y}_{i}}$ $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\bar{y}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{x}_{i}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\bar{x}\bar{y}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}1}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{y}_{i}- \bar{x}\bar{y}- \bar{y}\bar{x}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\bar{x}\bar{y}\cdot n}$

∵　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}y=\hspace{1}{\bar{y}}_{i}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{x}_{i}=\bar{x}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{\sum }}\limits_{ i=1 }^{n}\hspace{1}{x}_{i}\hspace{1}{y}_{i}- \bar{x}\bar{y}}$

共分散をCovariance(共分散)の頭文字を用いて $3$C\left({ X,Y }\right)$ と表現することもある，この共分散をExpected Value(期待値)の頭文字を用いた $3$E\left({ }\right)$ という表現を用いると，共分散 $3$C\left({ X,Y }\right)$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{ xy }=C\left({ X,Y }\right)}$

$3$\displaystyle{E\left({X}\right)=\hspace{1}{{\mu}}_{x}}$ ， $3$\displaystyle{E\left({Y}\right)=\hspace{1}{{\mu}}_{y}}$ とおくと

$3$\displaystyle{=E\left({ \left({ X- \hspace{1}{{\mu}}_{x} }\right)\left({ Y- \hspace{1}{{\mu}}_{y} }\right) }\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ XY- \hspace{1}{{\mu}}_{x}Y- \hspace{1}{{\mu}}_{y}X+\hspace{1}{{\mu}}_{x}\hspace{1}{{\mu}}_{y} }\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ XY }\right)- E\left({ \hspace{1}{{\mu}}_{x}Y }\right)- E\left({ \hspace{1}{{\mu}}_{y}X }\right)+E\left({ \hspace{1}{{\mu}}_{x}\hspace{1}{{\mu}}_{y} }\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ XY }\right)- \hspace{1}{{\mu}}_{x}E\left({Y}\right)- \hspace{1}{{\mu}}_{y}E\left({X}\right)+\hspace{1}{{\mu}}_{x}\hspace{1}{{\mu}}_{y}}$

$3$\displaystyle{=E\left({ XY }\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right)+E\left({X}\right)E\left({Y}\right)}$

$3$\displaystyle{=E\left({ XY }\right)- E\left({X}\right)E\left({Y}\right)}$

となる．

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　最終更新日： 2024年2月24日