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特定の範囲に解をもつための2次方程式の条件

2次方程式 $3$a{x}^{2}+bx+c=0$ が $3$\hspace{1}{x}_{1}< x< \hspace{1}{x}_{2}$ の範囲で解をもつための条件について考える．
まず， $3$f\(x\)=a{x}^{2}+bx+c$ とおく．

■ $3$\hspace{1}{x}_{1}< x< \hspace{1}{x}_{2}$ の範囲で解を１つもつ場合

(1) $3$f\(\hspace{1}{x}_{1}\)\cdot f\(\hspace{1}{x}_{2}\)< 0$

　右図参照：右の図は $3${x}^{2}$ の係数 $3$a$ が正の場合のグラフであるが， $3$a$ が負の場合も同じように考えることができる．

■ $3$\hspace{1}{x}_{1}< x< \hspace{1}{x}_{2}$ の範囲で解を2つもつ場合

(2) $3$D=0$ （重解をもつ場合）

$3$\hspace{1}{x}_{1}< {\alpha}< \hspace{1}{x}_{2}\text{\hspace{5}\hspace{5}}\(f\({\alpha}\)=0\)$

(1) $3$a> 0$ の場合

$3$D> 0$

$3$f\(\hspace{1}{x}_{1}\)> 0$ ， $3$f\(\hspace{1}{x}_{2}\)> 0$

$3$\hspace{1}{x}_{1}< p< \hspace{1}{x}_{2}$ ( $3$p$ についてはここを参照 )

(2) $3$a< 0$ の場合

$3$D> 0$

$3$f\(\hspace{1}{x}_{1}\)< 0$ ， $3$f\(\hspace{1}{x}_{2}\)< 0$

$3$\hspace{1}{x}_{1}< p< \hspace{1}{x}_{2}$ ( $3$p$ についてはここを参照 )

　

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最終更新日： 2023年7月27日