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関数

ある値 $3$x$ に対して，ただ1つの値 $3$y$ が対応するような関係があるとき，この関係を関数といい，一般的に

$3$\displaystyle{ y=f \(x\) }$

と表す．また， $3$y$ は $3$x$ の関数であるという．この場合，関数を表す文字として $3$f$ を一般的に用いたが， $3$g$ や $3$h$ など他の文字を用いることもよく使われる．

このような関数の概念を説明したのが右の図である．

両替機を例にとる．1000札1枚を両替機に入れる（入力する）と100円硬貨が10枚でる（出力される）．すなわち，両替機は入力に対して1つの出力が決まっている関数機能がある機械である．同じように，ある値 $3$x$ （ $3$x$ を変数と呼ぶ）に対して1つの値 $3$y$ に対応させる機能を文字で表すと一般的に， $3$\displaystyle{ y=f \(x\) }$ となる．

関数 $3$\displaystyle{ y=f \(x\) }$ において， $3$x$ の値 $3$a$ に対応する $3$y$ の値を $3$\displaystyle{ f \(a\) }$ と表し，これを関数 $3$\displaystyle{ f \(x\) }$ の $3$\displaystyle{x=a}$ における値という．

$3$\displaystyle{ f \(x\) }$ の関数（機能）を具体的に表すとする．例えば，長さ20のひもで長方形を作る場合，横の長さ $3$x$ を決めて縦の長さを対応させる関数は

$3$\displaystyle{f \(x\) =10- x}$

のように表す．あるいは

$3$\displaystyle{y=10- x}$

と表してもよい．

　 $3$\displaystyle{y=10- x}$ においては，横の長さ $3$x$ の値3に対しては縦の長さ7が唯一対応し $3$y$ の値となる．横の長さ $3$x$ の値6に対しては4が唯一対応し $3$y$ の値となる．右図参照．これらの関係を関数 $3$f$ を使って表すと

$3$\displaystyle{f\left({3}\right)=7}$ ， $3$\displaystyle{f\left({6}\right)=4}$

となる．

長方形を作るには， $3$x$ の値は

$3$\displaystyle{0< x< 10}$

でなければならない．更に， $3$x$ の値に対応する $3$y$ の値は

$3$\displaystyle{0< y< 10}$

となる．

一般に，関数 $3$\displaystyle{ y=f \(x\) }$ において，変数 $3$x$ の値のとりうる値の範囲，すなわち $3$x$ の変域を，この関数の定義域という．また， $3$x$ の定義域に対応する関数の値のとりうる範囲，すなわち $3$y$ の変域を，この関数の値域という．

上記のひもで長方形を作る場合

定義域は $3$\displaystyle{0< x< 10}$ ，値域は $3$\displaystyle{0< y< 10}$

となる．

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最終更新日： 2024年2月7日