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2次不等式の解

以下の(1)，(2)の２次不等式の解について解説をする.

$3$a{x}^{2}+bx+c> 0$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{a{x}^{2}+bx+c< 0}$ 　･･････(2)

ただし， $3$\displaystyle{a\neq 0}$ とする．

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=a{x}^{2}+bx+c }$ 　　･･････(3)

とおく．

■ $3$\displaystyle{a> 0}$ （ $3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ が下に凸のグラフ）の場合

●判別式 $3$\displaystyle{D={b}^{2}- 4ac> 0}$ のとき

◆ $3$a{x}^{2}+bx+c> 0$ の解は

実数全体

◆ $3$\displaystyle{a{x}^{2}+bx+c< 0}$ の解は

解なし

●判別式 $3$\displaystyle{D={b}^{2}- 4ac=0}$ のとき

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)=0}$ は重解を持ち，その解は $3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$ である．よって

◆ $3$a{x}^{2}+bx+c> 0$ の解は

$3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$ を除く実数全体

◆ $3$\displaystyle{a{x}^{2}+bx+c< 0}$ の解は

解なし．

●判別式 $3$\displaystyle{D={b}^{2}- 4ac> 0}$ のとき

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)=0}$ は2つの異なる実数解を持つ.その解を $3$\displaystyle{\alpha }$ ， $3$\displaystyle{{\beta}}$ ，ただし， $3$\displaystyle{\alpha < {\beta}}$ とする．

$3$\displaystyle{\alpha =\frac{\hspace{2} - b- \sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{{\beta}=\frac{\hspace{2} - b+\sqrt{ {b}^{2}- 4ac } \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}}$

◆ $3$a{x}^{2}+bx+c> 0$ の解は

$3$\displaystyle{x< \alpha }$ ， $3$\displaystyle{x> {\beta}}$

◆ $3$\displaystyle{a{x}^{2}+bx+c< 0}$ の解は

$3$\displaystyle{x< \alpha }$ ， $3$\displaystyle{x> {\beta}}$

$3$\bullet$ 導出

【 $3$a{x}^{2}+bx+c> 0$ の場合】

$3$a{x}^{2}+bx+c> 0$ は以下のように書き直すことができる．

$3$\displaystyle{a\left({ x- \alpha }\right)\left({ x- {\beta} }\right)> 0}$ 　･･････(4)

両辺を $3$a$ で割る $3$\displaystyle{a> 0}$ より符号の向きは変わらない．不等号の性質を参照．

$3$\displaystyle{\left({ x- \alpha }\right)\left({ x- {\beta} }\right)> 0}$ 　･･････(5)

(5)が成り立つのは

$3$\displaystyle{x- \alpha > 0}$ かつ $3$\displaystyle{x- {\beta}> 0}$ 　･･････(6)

あるいは

$3$\displaystyle{x- \alpha < 0}$ かつ $3$\displaystyle{x- {\beta}< 0}$ 　･･････(7)

の場合である．

(6)の場合

$3$\displaystyle{x> \alpha }$ かつ $3$\displaystyle{x> {\beta}}$

$3$\displaystyle{\alpha < {\beta}}$ より

$3$\displaystyle{x> {\beta}}$ 　･･････(8)

となる．

(7)の場合

$3$\displaystyle{x< \alpha }$ かつ $3$\displaystyle{x< {\beta}}$

$3$\displaystyle{\alpha < {\beta}}$ より

$3$\displaystyle{x< \alpha }$ 　･･････(9)

となる．

(8)，(9)より(4)の解は

$3$\displaystyle{x< \alpha }$ ， $3$\displaystyle{x> {\beta}}$

となる．

【 $3$a{x}^{2}+bx+c< 0$ の場合】

$3$\displaystyle{a{x}^{2}+bx+c< 0}$ は以下のように書き直すことができる．

$3$\displaystyle{a\left({ x- \alpha }\right)\left({ x- {\beta} }\right)< 0}$ 　･･････(10)

両辺を $3$a$ で割る $3$\displaystyle{a> 0}$ より符号の向きは変わらない．不等号の性質を参照．

$3$\displaystyle{\left({ x- \alpha }\right)\left({ x- {\beta} }\right)< 0}$ 　･･････(11)

(5)が成り立つのは

$3$\displaystyle{x- \alpha > 0}$ かつ $3$\displaystyle{x- {\beta}< 0}$ 　･･････(12)

あるいは

$3$\displaystyle{x- \alpha < 0}$ かつ $3$\displaystyle{x- {\beta}> 0}$ 　･･････(13)

の場合である．

(12)の場合

$3$\displaystyle{x> \alpha }$ かつ $3$\displaystyle{x< {\beta}}$

$3$\displaystyle{\alpha < {\beta}}$ より

$3$\displaystyle{\alpha < x< {\beta}}$ 　･･････(14)

となる．

(13)の場合

$3$\displaystyle{x< \alpha }$ かつ $3$\displaystyle{x> {\beta}}$

$3$\displaystyle{\alpha < {\beta}}$ より

解なし　･･････(15)

となる．

(14)，(15)より(4)の解は

$3$\displaystyle{\alpha < x< {\beta}}$

となる．

■ $3$\displaystyle{a< 0}$ （ $3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ が上に凸のグラフ）の場合

(1)，(2)の両辺に $3$\displaystyle{- 1}$ を掛けると， $3${x}^{2}$ の係数が正になる，以降は， $3$\displaystyle{a> 0}$ の場合同様にして解く．

　

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最終更新日： 2025年4月27日