平面で定義された曲線が をパラメータとして , で表されている場合，曲率半径
において
より
⇒ ⇒
となり，最終的に
を得る．また
であるので，曲率半径 は の関数として
と求まる．
また，曲線上の点 P 付近を近似する円の中心 C の座標 は
となる．
ホーム>>カテゴリー分類>>幾何>>パラメータ表示された曲線の曲率半径
最終更新日：2023年9月30日
平面で定義された曲線が
をパラメータとして
%20%20})
,
%20%20})
で表されている場合，曲率半径
}^{%5cprime%20}d%5calpha%20={%20%5c(%20%5cfrac{%5chspace{2}%20%5cfrac{%5chspace{2}%20dy%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20dt%20%20%5chspace{2}}%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20%5cfrac{%5chspace{2}%20dx%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20dt%20%20%5chspace{2}}%20%20%5chspace{2}}%20%20%5c)%20%20}^{%5cprime%20}dt%20%20})
⇒
%20%20}^{2}%20%20%5chspace{2}}dt%20%20})
⇒
%20%20}^{2}%20%20%5chspace{2}}dt%20%20})
%20%20}^{2}+{%20%5c(%20%5cfrac{%5chspace{2}%20dy%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20dt%20%20%5chspace{2}}%20%20%5c)%20%20}^{2}%20%20%5chspace{2}}dt%20%20})
%20%20}^{2}+{%20%5c(dy%5c)%20%20}^{2}%20%20}%20%20})
%20%20%20%20}^{2}+{%20%20%5c(%20%5cfrac{%5chspace{2}%20dy%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20dt%20%20%5chspace{2}}%20%20%5c)%20%20%20%20}^{2}%20%20}dt%20%20})
は
の関数として
,y%5c(t%5c)%5c)%20%20})
付近を近似する円の中心 C の座標
%20%20})
は
=%5c(x%5c(t%5c)%5ctext{%5chspace{1}},%5ctext{%5chspace{1}}y%5c(t%5c)%5c)+%20%5c(%20-%20%5cfrac{%5chspace{2}%20dy%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20d%5calpha%20%20%20%5chspace{2}}%5ctext{%5chspace{1}},%5ctext{%5chspace{1}}%5cfrac{%5chspace{2}%20dx%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20d%5calpha%20%20%20%5chspace{2}}%20%20%5c)%20%20%20%20})
%5ctext{%5chspace{1}},%5ctext{%5chspace{1}}y%5c(t%5c)%5c)%20%20})
%20%20}^{2}+{%20%5c(%5cfrac{%5chspace{2}%20dy%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20dt%20%20%5chspace{2}}%5c)%20%20}^{2}%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20%5cfrac{%5chspace{2}%20dx%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20dt%20%20%5chspace{2}}%5cfrac{%5chspace{2}%20{d}^{2}y%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20d{t}^{2}%20%20%5chspace{2}}-%20%5cfrac{%5chspace{2}%20dy%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20dt%20%20%5chspace{2}}%5cfrac{%5chspace{2}%20{d}^{2}x%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20d{t}^{2}%20%20%5chspace{2}}%20%20%5chspace{2}}%20%5c(%20-%20%5cfrac{%5chspace{2}%20dy%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20dt%20%20%5chspace{2}}%5ctext{%5chspace{1}},%5ctext{%5chspace{1}}%5cfrac{%5chspace{2}%20dx%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20dt%20%20%5chspace{2}}%20%20%5c)%20%20%20%20})