三平方の定理（ピタゴラスの定理）

$3$\displaystyle{\angle \text{ACB}=90^\circ }$ となる直角三角形 $3$\text{ABC}$ において，各辺の長さを， $3$\displaystyle{ \text{BC}=a }$ ， $3$\displaystyle{ \text{CA}=b }$ ， $3$\displaystyle{ \text{AB}=c }$ とすると

$3$\displaystyle{{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}}$

の関係が成り立つ．この関係を三平方の定理あるいはピタゴラスの定理という．

■証明

△ $3$\text{ABC}$ において，辺 $3$\text{BC}$ を一辺と知る正方形 $3$\text{CBDE}$ を描き，同じく辺 $3$\text{AC}$ を一辺とする正方形 $3$\text{ACGH}$ を下図の左側のように描く．直線 $3$\text{ED}$ と直線 $3$\text{GH}$ の交点を $3$\text{F}$ とし，直線 $3$\text{FG}$ と直線 $3$\text{AB}$ の交点を $3$\text{I}$ とする．

まず，直線 $3$\text{AB}$ と直線 $3$\text{IF}$ の関係を調べる．

四角形 $3$\text{CEFG}$ は長方形で， $3$\displaystyle{ \text{CE}=a }$ ， $3$\displaystyle{ \text{EF} =b }$ ， $3$\displaystyle{ \angle \text{CEF}=90^\circ }$ となる．

よって

△ $3$\text{FCE}$ ≡△ $3$\text{ABC}$ 　（∵2辺とその間の角が等しい）

次に， $3$\displaystyle{ \angle \text{AIC} }$ について考える．

$3$\displaystyle{\angle \text{ECF}=\angle \text{ICA}}$ 　（∵対角は等しい）， $3$\displaystyle{\angle \text{ECF}=\angle \text{CBA}}$ 　（△ $3$\text{FCE}$ ≡△ $3$\text{ABC}$ ）より

$3$\displaystyle{\angle \text{ICA}=\angle \text{CBA}}$

よって

△ $3$\text{ABC}$ ∽△ $3$\text{ACI}$ 　（∵2角が等しい）

以上より

$3$\displaystyle{ \angle \text{AIC}=90^\circ }$

次に，面積が保たれる変形を繰り返すことにより，定理を証明する．

正方形 $3$\text{BCED}$ の面積＝平行四辺形 $3$\text{BCFJ}$ の面積　（∵ $3$\text{BC}$ 共通で高さが同じ）　･･････(1)

正方形 $3$\text{ACGH}$ の面積＝平行四辺形 $3$\text{ACFK}$ の面積　（∵ $3$\text{AC}$ 共通で高さが同じ）　･･････(2)

さらに

平行四辺形 $3$\text{BCFJ}$ の面積＝長方形 $3$\text{BILJ}$ の面積　（∵ $3$\text{BJ}$ 共通で高さが同じ）　　･･････(3)

平行四辺形 $3$\text{ACFK}$ の面積＝長方形 $3$\text{AILK}$ の面積　（∵ $3$\text{AK}$ 共通で高さが同じ）　　･･････(4)

(1)，(2)，(3)，(4)より

四角形 $3$\text{ABJK}$ の面積＝正方形 $3$\text{BCED}$ の面積＋正方形 $3$\text{ACGH}$ の面積　･･････(5)

一方

$3$\displaystyle{\text{JD}=\text{FE}=\text{AC}}$ ， $3$\displaystyle{\text{BD}=\text{BC}}$ ， $3$\displaystyle{\angle \text{ACB}=\angle \text{JDB}=90^\circ }$ より△ $3$\text{ABC}$ ≡△ $3$\text{JBD}$

よって

$3$\displaystyle{\text{JB}=\text{AB}=c}$

となり

四角形 $3$\text{ABJK}$ は正方形　･･････(6)

となる．(5)，(6)より

正方形 $3$\text{ABJK}$ の面積＝正方形 $3$\text{BCED}$ の面積＋正方形 $3$\text{ACGH}$ の面積

となる．すなわち

$3$\displaystyle{{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}}$

となる．

三平方の定理の証明は，この他にもいろいろな方法がる．

ホーム>>カテゴリー分類>>幾何>>三平方の定理（ピタゴラスの定理）

最終更新日： 2023年10月2日