三角錐の体積

三角錐の体積＝底面積×高さ×

■証明

三角柱を3つの三角錐に分解することで証明する．

(?T)三角錐 と三角錐 について

三角柱 の側面の四角形 は平行四辺形である．

よって

　･･････(1)

　･･････(2)

となる．

次に， と について考える．

(1)，(2)とが共通であることより

　 三角形の合同条件)　

が成り立ち

の面積＝ の面積　･････(3)

となる．

□ を底面とする四角錐はで三角錐と三角錐 に2分割される．(3)より底面が面積の等しい三角形に分割されているので

三角錐 の体積＝三角錐 の体積　･･････(4)

が成り立つ．

(?U)三角錐 と三角錐 について

 

三角柱 の側面□ は平行四辺形である．

よって

　 ･･････(5)

　 ･･････(6)

となる．

次に， と について考える．

(5)，(6)と が共通であることより

　 三角形の合同条件)　

が成り立ち

の面積＝ の面積　･････(7)

となる．

□ を底面とする四角錐 は で三角錐 と三角錐 に2分割される．(6)より底面が面積の等しい三角形に分割されているので

三角錐 の体積＝三角錐 の体積　･･････(8)

が成り立つ．

(4)，(8)より

三角錐の体積＝三角錐 の体積（三角錐の体積）＝三角錐 の体積　･･････(9)

となり3つの三角錐の体積は等しい．

よって，

を底面とする三角錐（三角錐）の体積＝×三角柱 の体積　･･････(10)

となる．

また

を底面とする三角錐 （三角錐 ）の高さは，三角柱 の高さと等しい　･･････(11)

(10)，(11)より三角錐の体積は，

三角錐の体積＝底面積×高さ×

となる．

 

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最終更新日： 2024年1月29日